当a≠b且a+(n-1)b=0时，r(A)=n-1 当a=b=0时，r(A=0 当a=b≠0时，(A)=1. 3)用性质求矩阵的秩 例5设A为n阶方阵，且A2=A,试证r(A-I)+(A≤n。 证已知A2=A即A(A-I）=0,由性质知 n=r(I-A+A≤rI-A+r(A=r(A-I)+r(A)≤n 所以成立 r(A-I）+r(A)=n 例2设A为m×n阵，B为n×m阵，则 (1)如果m>n时，证明AB=0 (2)如果m<n且AB=I,试证r(B)=m。 证(1)由秩的性质知r(AB)=min(r(A),r(B),而r(A)≤min(m,n)≤n, r(B)≤min(m,n)≤n,则(AB)≤n<m,故AB不满秩，即AB=0。 (2)由秩的性质知 m=r(I）=r(AB)≤min(r(A,r(B)≤m 故 r(B)=m 例3设A为A的转置伴随阵，试证 r(A)=n r(4)=n-1 0 r()≤n-2 证(1)当r(4)=n时，则A≠0，由AA=41知，两边取行列式得 4A=A,即A=4≠0，所以4)=n。 (3)当(4)=n-1时，由定义知A有n-1阶子式非零，这时A=(Aj≠0，即 r(4)21,而A4=A=0,由性质知(4)+4)sn,推得r(4)s1,综上 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
当 a ¹ b且a + (n -1)b＝0时，r(A) = n -1; 当 a = b = 0时，r(A) = 0; 当 a = b ¹ 0时，r(A) = 1. 3)用性质求矩阵的秩 例 5 设 A 为 n 阶方阵，且 A = A 2 ，试证 r(A - I)+ r(A) £ n。 证 已知 A = A 2 即 A(A - I) = 0 ，由性质知 n = r(I - A + A) £ r(I - A)+ r(A) = r(A - I) + r(A) £ n 所以成立 r(A - I) + r(A) = n 例2 设 A 为 m´ n 阵，Ｂ为 n ´ m 阵，则 （1） 如果 m > n时，证明 AB = 0 ； （2） 如果 m < n 且 AB = I ，试证 r(B) = m 。 证 （1）由秩的性质知 r(AB) = min(r(A),r(B)),而r(A) £ min(m, n) £ n, r(B) £ min(m, n) £ n，则 r(AB) £ n p m ，故 AB 不满秩，即 AB = 0 。 （2）由秩的性质知 m = r(I) = r(AB) £ min(r(A),r(B)) £ m 故 r(B) = m 例3 设 * A 为 A 的转置伴随阵，试证 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A 证 （1）当 r(A) = n 时，则 A ¹ 0 ，由 AA = A I * 知，两边取行列式得 n A A = A * ，即 0 1 * = ¹ n- A A ，所以 r(A ) = n * 。 （3） 当 r(A) = n -1时，由定义知 A 有 n -1阶子式非零，这时 ( ) 0 * = ¹ T A Aij ，即 ( ) 1 * r A ³ ，而 0 * AA = A I = ，由性质知r(A)+ r(A ) £ n * ，推得 ( ) 1 * r A £ ，综上 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
可得(4)=1。 (4)综上所述 n r(A)=n rA)= r(A)=n-1 0 r(A≤n-2 4)用有关结论求矩阵的秩 例8设n>2)阶非零实方阵A=(a)满足a=A,(j=1,2,…n),求r(4)。 解解法1因为a,=A且A≠0，不妨设ag≠0，由行列式的定义知 个=au4+a4a++a4n=2c>0 所以 r(A)=n 解法2由a=A,知A=AI,再由(4)=r(A)及 r()=n )= r(A)=n-1 0 r(A≤n-2 知n>2时，要使r(A)=A),且A≠0，只能r(A)=n。 [102 例9已知A为4×3阶矩阵，且(A)=2,B= 020 求r(AB)的值。 -103 「10 3> 解因为B= 020 为可逆阵，由结论知AB不改变A的秩，故 -103 (AB)=r(A)=2 5)用齐次方程的基础解系求矩阵的秩。 例10设A为m×n实矩阵，证明A=r()。 证分析只要证明线性方程组Ax=0与A'Ax=0同解即可。这时基础解系的向量个数必 相等，即n-r(A)=n-4',得r(4A)=(4). 设有x满足Ax=0,左乘AI得A'Ax=0,即x也是ATAx=0的解。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
可得 ( ) 1 * r A = 。 （4） 综上所述 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A 4）用有关结论求矩阵的秩 例 8 设 n(> 2) 阶非零实方阵 ( ) A = aij 满足 a A (i j n) ij = ij , = 1,2,L ，求 r(A)。 解 解法 1 因为 aij = Aij且A ¹ 0 ，不妨设 ¹ 0 kl a ，由行列式的定义知 0 1 2 = 1 1 + 2 2 + + = å > = n i A ak Ak ak Ak L aknAkn aki 所以 r(A) = n 解法 2 由 aij = Aij 知 T A = A * ，再由 r(A ) r(A) T = 及 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A 知 n > 2 时，要使 ( ) ( ) * r A = r A ，且 A ¹ 0 ，只能 r(A) = n。 例 9 已知 A 为 4´3阶矩阵，且 r(A) = 2， ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 1 0 3 0 2 0 1 0 2 B 求 r(AB)的值。 解 因为 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 1 0 3 0 2 0 1 0 2 B 为可逆阵，由结论知 AB 不改变 A 的秩，故 r(AB) = r(A) = 2 5）用齐次方程的基础解系求矩阵的秩。 例 10 设 A 为 m´ n 实矩阵，证明 r(A A) r(A) T = 。 证 分析 只要证明线性方程组 Ax = 0与 A Ax = 0 T 同解即可。这时基础解系的向量个数必 相等，即 n r(A) n r(A A) T - = - ，得 r(A A) r(A) T = 。 设有 x 满足 Ax = 0，左乘 T A 得 A Ax = 0 T ，即 x 也是 A Ax = 0 T 的解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
设有x满足ATAr=0,左乘xI得xT AT Ax=0,即(Ax)(Ax)=0,得Ax=0, 即x也是Ax=O的解。 综上所述Ar=0与AAx=0同解，故(4)=r(4'A)成立。 6)齐次线性方程组的求法 x1-X2-x3+x4=0 例11求齐次线性方程组x1-x2+x3-3x4=0的通解。 x1-x2-2x3+3x4=0 解解法1系数矩阵经过行初等变换得 1 -1-117[1-1-111 A=1-11-3 0 00 -2 由r()=2,n=4知方程组有无穷多组解，得同解方程组 x1-x2-x4=0 x3-2x4=0 移项后得 X1=X2+x4 x3=2x4 令x2=11,x4=12得 「17 17 1 X= 0 %+ 2 12, 41,l3∈R 0 「17「1 1 0 其中 0 2 为齐次方程的一个基础解系。 解法2由解法1可知(A)=2。 -母]d--图 齐次方程的通解为 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint.cn
设有 x 满足 A Ax = 0 T ，左乘 T x 得 x A Ax = 0 T T ，即(Ax) (Ax) = 0, T 得 Ax = 0， 即 x 也是 Ax = 0的解。 综上所述 Ax = 0与 A Ax = 0 T 同解，故 r(A) r(A A) T = 成立。 6）齐次线性方程组的求法 例 11 求齐次线性方程组 ï î ï í ì - - + = - + - = - - + = 2 3 0 3 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 的通解。 解 解法 1 系数矩阵经过行初等变换得 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - - - = 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 2 4 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 A 由 r(A) = 2, n = 4知方程组有无穷多组解，得同解方程组 î í ì - = - - = 2 0 0 3 4 1 2 4 x x x x x 移项后得 î í ì = = + 3 4 1 2 4 x 2x x x x 令 2 1 4 2 x = t , x = t 得 x t t t t Î R ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 2 1 2 , , 1 2 0 1 0 0 1 1 其中 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 1 2 0 1 , 0 0 1 1 为齐次方程的一个基础解系。 解法 2 由解法 1 可知 r(A) = 2。 令 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 0 1 4 2 x x ，得 ú û ù ê ë é ú = û ù ê ë é 0 1 3 1 x x ；令 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 1 1 4 2 x x ，得 ú û ù ê ë é ú = û ù ê ë é 2 2 3 1 x x 齐次方程的通解为 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn