黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第十章 曲线积分与曲面积分

∫(x,y,ds=』/x,x(xy)/1+x2+z2td ∑ D (dS面元素(曲) 王∫Rx,3)b=nxy2(x,)d ∑ D (dy面元素(投影) 王其中』P+Q=(ca+cp)b 工工 Pdydz+odzdx+ Rdxdy ∑ I(Pcos a+2 cos B+Rcos r )ds ∑

   = +  +  Dxy x y f x y z dS f x y z x y z z dxdy 2 2 ( , , ) [ , , ( , )] 1    = Dxy R(x, y,z)dxdy f[x, y,z(x, y)]dxdy 其中 P Q R dS Pdydz Qdzdx Rdxdy ( cos cos  cos )     = + + + + Pdx Qdy P Q ds L L ( cos cos )   + = + (dS面元素(曲)) (dxdy面元素(投影))

生★理论上的联系 1定积分与不定积分的联系 (x)dx= F(b)-F(a)(F(x)=f(r) 牛顿一莱布尼茨公式 王2二重积分与曲线积分的联系 a0 aP a9,)=P+(沿的正向 格林公式 上页

理论上的联系 1.定积分与不定积分的联系 f (x)dx F(b) F(a) (F (x) f (x)) b a = −  =  牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 ( )dxdy Pdx Qdy (沿L的正向) y P x Q L D   = +   −   格林公式

3三重积分与曲面积分的联系 aP a0 OR )dv=H Pdydz+ odzdx+Rdxdy ax Q x X O1 高斯公式 4曲面积分与曲线积分的联系 OR 80 OP OR 00 oP )dydz Daze ax ∑ ay az Oz ax oy dray =Pdx+ody+Rdz 斯托克斯公式 上页

3.三重积分与曲面积分的联系     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 高斯公式 4.曲面积分与曲线积分的联系 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式

★ Green公式, Guass公式, Stokes公式 士 之间的关系 王[+图的或+的②m的 A(M)为平面向量场 ds=l(rotA. k )dxdy f(A n)ds =f divided I 午推广↓M为空间向量场 推广 Pdx +Ody+ rdz Pdydz+odzdx+ rdxdy dydz dzdx dxd 00 ax ay az =∫ aP 80 OR ax ay az R 上页 返回

   =  D L A ds (rotA k)dxdy        = D L A n ds divAdxdy    ( ) Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系     A dS = (rotA n)dS             = + + P Q R x y z dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz     A n ds = divAdv    ( ) dv z R y Q x P Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )   +   +   = + +         −   + = D L dxdy y P x Q Pdx Qdy ( )     +   − + = D L dxdy y Q x P 或 Qdx Pdy ( ) 推广 推广 A(M)为平面向量场  A(M)为空间向量场 