线性代数第一章讲稿 §3.行列式的性质 问题提出:从行列式的定义可知,计算n阶行列式,要计算n项的代数和,且每项又是 不同行不同列的n个元素的乘积。当n较大时,计算量非常大,一般不采用定义计算行列式 因此,有必要进一步讨论行列式的性质,利用行列式的性质,可以简化行列式的计算 行列式的性质 Def:行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式,记为D或D 性质1:转置行列式与原行列式值相等,即D=D。 证明:行列式D的一般项为(-1))a1a21…an,在D中这n个元素 的乘积为112…a1,n,符号为(-1)=)02”=(-1)的-),即D与D具有相 同的项,所以D=D。 注:行列式对行成立的性质对列也同样成立。 性质2:交换行列式的两行(列),行列式改变符号 证明:设D ,交换第i行与第s行得D1 a D的一般项中n个元素的乘积为a122…a1…a nun, 符号为(-1)(12.)NO---m) 在D的一般项中n个元素的乘积为a11a22…asn…an…anJn, 符号为(-1) N(12.s1n)+N(i1…J1jx…n) 而N(12.1.S.m)与N(12..1,n)奇偶性相反,所以D1=-D。 推论:若行列式中的两行(列)对应元素相同,则此行列式为0。 D=D→D=0 第一章-6
线性代数第一章讲稿 第一章- 6 - §3.行列式的性质 问题提出：从行列式的定义可知，计算 n 阶行列式，要计算 n! 项的代数和，且每项又是 不同行不同列的 n 个元素的乘积。当 n 较大时，计算量非常大，一般不采用定义计算行列式， 因此，有必要进一步讨论行列式的性质，利用行列式的性质，可以简化行列式的计算。 一、行列式的性质 Def：行列式 D 的行与列互换后得到的行列式称为 D 的转置行列式，记为 T D 或 D ， 即 n n nn n n a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 = ， n n nn n n T a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... 1 2 12 22 2 11 21 1 = 。 性质 1：转置行列式与原行列式值相等，即 T D = D 。 证明：行列式 D 的一般项为 n n j j nj N j j j ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) − ，在 T D 中这 n 个元素 的乘积为 ai ai ai n n ... 1 1 2 2 ，符号为 ( ... ) (12... ) 1 2 ( 1) N i i in +N n − = ( ... ) 1 2 ( 1) n N i i i − ，即 D 与 T D 具有相 同的项，所以 T D = D 。 注：行列式对行成立的性质对列也同样成立。 性质 2：交换行列式的两行（列），行列式改变符号。 证明：设 n n nn s s sn i i in n a a a a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = ，交换第 i 行与第 s 行得 n n nn i i in s s sn n a a a a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 1 2 11 12 1 1 = ， D 的一般项中 n 个元素的乘积为 j j ij sj n n a a a a a j i s ... ... ... 1 1 2 2 ， 符号为 (12... ... ... ) ( ... ... ... ) 1 ( 1) i s n N i s n +N j j j j − ， 在 D1 的一般项中 n 个元素的乘积为 j j sj ij n n a a a a a j i s ... ... ... 1 1 2 2 ， 符号为 (12... ... ... ) ( ... ... ... ) 1 ( 1) i s n N s i n +N j j j j − ， 而 N(12...i...s...n) 与 N(12...s...i...n) 奇偶性相反，所以 D1 = −D 。 推论：若行列式中的两行（列）对应元素相同，则此行列式为 0。 − D = D D = 0
线性代数第一章讲稿 性质3:行列式的某一行(列)中所有元素乘以同一数k,等于用k乘行列式 a 即:D kD。 n 证明:D的一般项为(-1)(2)a1a212am,D1的一般项为 1)N(j2…in)A kai).ani=k[1) 所以D=D。 推论1:若行列式某行(列)的所有元素有公因子,则公因子可提到行列式外面。 推论2:若行列式的两行(列)对应元素成比例,则行列式为0。如 35 a1 性质4:若D=bn+cnb2+cn…bn+cl,且D1=|bb2…bn, a12 cn,则D=D+D2 性质5:将行列式某一行(列)中各元素同乘数k加到另一行(列)中对应元素上,行 列式值不变 证:P16 利用行列式的性质计算行列式 说明:1)利用行列式的性质,将行列式化成上(下)三角行列式,即可计算出其值 2)用r表示行运算,用c表示列运算
线性代数第一章讲稿 第一章- 7 - 性质 3：行列式的某一行（列）中所有元素乘以同一数 k ，等于用 k 乘行列式。 即： n n nn n n a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 = ， n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 11 12 1 1 = kD a a a a a a a a a k n n nn n n = = ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 。 证明： D 的一般项为 n n j j nj N j j j ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) − ， D1 的一般项为 i n n j j ij nj N j j j ( 1) a a ...(ka )...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) − = [( 1) ... ] 1 2 1 2 1 2 ( ... ) n n j j nj N j j j k − a a a ， 所以 D1 = kD。 推论 1：若行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可提到行列式外面。 推论 2：若行列式的两行（列）对应元素成比例，则行列式为 0。如： 0 1 3 5 2 4 6 1 2 3 = 性质 4：若 n n nn i i i i in in n a a a b c b c b c a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 1 2 2 11 12 1 = + + + ，且 n n nn i i in n a a a b b b a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 11 12 1 1 = ， n n nn i i in n a a a c c c a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 11 12 1 2 = ，则 D = D1 + D2。 性质 5：将行列式某一行（列）中各元素同乘数 k 加到另一行（列）中对应元素上，行 列式值不变。 证：P16。 二．利用行列式的性质计算行列式。 说明：1）利用行列式的性质，将行列式化成上（下）三角行列式，即可计算出其值； 2）用 r 表示行运算，用 c 表示列运算