secx 辉原式 dx cOSX d sinx 1+sin x dx In cOS x -sin x 2 sIn x 1+sinx n +C=In/secx+tan x +C COSX 2 tanx+ sec x secx tanx t sec x 或原式=|secx dx dx tanx+sec x tan x+sec x d(sec x+tan x Inlsecx+tanx+C tan x+ secx 同理可得「 cscxdx= Inlcscx-cotx+C
11 (5) sec xdx 1 cos dx x 解 原式 或原式 tan sec sec tan sec x x x dx x x 同理可得 csc xdx ln csc x cot x C 2 2 cos sin cos 1 sin x d x dx x x 1 1 sin ln 2 1 sin x C x 2 1 1 sin ln 2 cos x C x 2 sec tan sec tan sec x x x dx x x (sec tan ) tan sec d x x x x ln sec x tan x C ln sec x tan x C
例11求下列各式的不定积分 sin xdx 解原式2=订-92 cos 2xd(2x)=-x-sin 2x+C 同理可得∫ Icos'xdx x+-sin 2x+C (2) sin'xdx 解原式=」si2 xdx cos x=f(ox-ox=1x-sx+ 结论4:一般地,对形如「 sin"xdx, cos"xdx这样的不定积分
12 2 (1) sin xdx 1 cos 2 2 x dx 解 原式 1 [ cos 2 ] 2 dx xdx 1 1 cos 2 (2 ) 2 4 dx xd x 1 1 sin 2 2 4 x x C 例11 求下列各式的不定积分 同理可得 2 1 1 cos sin 2 2 4 xdx x x C 结论4: 一般地, 对形如 sin , cos n n xdx xdx 3 (2) sin xdx 2 sin xdx cos x 解 原式 2 (cos x 1)d cos x 1 3 cos cos . 3 x x c 这样的不定积分
n为偶数时应先降次后再积分;当n为奇数时应先凑微分 再积分 (3) sin'xcos xdx 解原式=sin2 xd sin x=sin3x+C 般地对形如」sm" cos">这样的不定积分 若nzm,且一奇一偶时,则应凑奇次幂的三角函数; 若同为偶,则化为sin”x,cos"xx来积分 若n=m,则化为「(sin2x)"来积分
13 当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分 再积分； 2 (3) sin xcos xdx 2 1 3 sin sin sin 3 xd x x C 解 原式 sin cos n m x xdx 一般地,对形如 这样的不定积分 若n≠m，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数； 若同为偶，则化为 sin , cos n n xdx xdx 来积分. 1 sin 2 2 n n m x dx 若 ，则化为 （ ） 来积分
sin xsin nxax 对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分 解原式 cos(m-n)x-cos(m +n)x]dx sin(m-n)x sin(m +n)x 2(m-n)2(m+n)
14 (4) sin mxsin nxdx 1 [cos( ) cos( ) ] 2 m n x m n x dx 解 原式 对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分. sin( ) sin( ) 2( ) 2( ) m n x m n x C m n m n
课堂练习:求下列各式 +2xdx 3.」3x2 5. cos xdx sin x cos xdx
15 课堂练习: 求下列各式 3 2 1. 1 2 ; 2. ; 3. 3 ; x e x x xdx e dx x e dx 12 23 2 4. ; 5. cos ; 6. sin cos ; x a dx x xdx x xdx