在直角坐标系下二重积分的计算的公式有 q2(x) f(x,y)d=ax∫(x,y)y 1(x) D =g(x) v1(y) v2(y) f(x, y)do dy f(x, y)dx Yi(y D
1 b x a x D f x y d dx f x y dy = 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d y c y D f x y d dy f x y dx = 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) O x D 2 x y = ( ) 1 x y = ( ) y y x y O 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) a x b D 在直角坐标系下二重积分的计算的公式有 d c
§9.3二重积分的换元法 在计算定积分时,换元法是一种强有力的方法.在计 算二重积分时,也常用此法特别是二重积分/(x,y)lo 不易计算时,我们也可根据积分区域D的形状和被积函数 f(x,y)的特点,用一个适当的变换 y=y(u, v) 把xy平面内区域D上的二重积分,变成w平面内区域D 上的二重积分,以达到简化二重积分的计算 那么这两个二重积分有何关系呢?
2 §9.3 二重积分的换元法 在计算定积分时, 换元法是一种强有力的方法. 在计 D f x y d ( , ) 不易计算时, 算二重积分时, 也常用此法. 特别是二重积分 ( , ) ( , ) x u v y u v = = 上的二重积分, 以达到简化二重积分的计算. D1 那么这两个二重积分有何关系呢？ 把 xy 平面内区域 D上的二重积分, 变成 uv 平面内区域 ƒ(x, y)的特点, 用一个适当的变换 我们也可根据积分区域D的形状和被积函数
定理2若f(x,y)在xy平面的闭区域D上连续,且变换 x=p(u, v) 满足: y=y(u, v) (1)9,)与v(a,v在w平面的闭区域D上具有一阶连续 偏导数; (2)它将x平面上的区域D一对一地变为uw平面上的区域D (3)在区域D上的雅可比行列式/sO(x,y)≠0, d(u, v) 则在此变换下,二重积分为 ∫(x,y)dd=‖lq(u,"),y(u,v) 0(x,y dudi
3 定理2 若ƒ(x, y)在 xy 平面的闭区域D上连续, 且变换 ( , ) ( , ) x u v y u v = = (1) 与 在 uv 平面的闭区域 D1 上具有一阶连续 (2)它将xy平面上的区域D 一对一地变为uv平面上的区域 D1 ； x y D J u v = 1 ( , ) (3) 0, ( , ) 在区域 上的雅可比行列式 则在此变换下, 二重积分为 偏导数； 1 ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) D D x y f x y dxdy f u v u v dudv u v = 满足： ( , ) u v ( , ) u v
注1雅可比( Jacobi)行列式为x,y对u,w偏导数所 构成的函数行列式记为 ax a J a(x, y)au av a ay ax a a(u, v)ay Oy Ou dy dy Ou au av 注2换元法计算二重积分的关键是根据被积函数 f(x,y)的特点和区域D的形状,构造变换式 注3的实质就是变换前后D与D1的伸缩率或比 例系数).当J>时,SD>Sn;当八<时,SD<S
4 注2 换元法计算二重积分的关键是根据被积函数 1 雅可比 行列式为 对 的偏导数所 (Jacobi x y u,v ) , 构成的函数 行列 注 式. 记为 ƒ(x, y)的特点和区域 D的形状, 构造变换式. 注3 J 的实质就是变换前后D与 D1 的伸缩率(或比 例系数). 1 1 1 , ; 1 , D D D D 当 时 当 时 J S S J S S x y x y u v v u = − x x x y u v J u v y y u v = = ( , ) ( , )
注4若雅可比行列式/只在D内个别点上或一条曲线 上为零而在其他点上为不为零,则换元公式仍然成立 例12计算e+c,其中D是由x轴,y和直线x+y=2 所围成的闭区域 解区域D的图形如右图 令=y-x,v=y+x xty- D 解得变换式 2 x v+u J
5 1 注4 若雅可比行列式 只在 内个别点上或 J D 一条曲线 上为零 而在其他点上为不为零,则换元公式仍然成立 , 12 , , 2 y x y x D e dxdy D x y x y − + + = 例 计算 其中 是由 轴 轴和直线 所围成的闭区域. 解 区域 D 的图形如右图 解得变换式 2 2 v u x v u y − = + = 令 u = y − x, v = y + x x y O D x+ y=2