§23极限运算的基本法则及其运用 问题:根据极限的定义,只能验证某个常数A 是否为某个函数f(x的极限,而不能求出函数f(x的 极限.为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运 算法则;并利用这些法则和§2.1及22中的某些结 论来求函数极限 一极限的四则运算法则 定理6.若lmf(x)=A,limg(x)=B.则 1).lim|f)±g(]=limf(x)±limg(ax)=A±B (2).limf(x)·g(x)=limf(x)·limg(x)=A.B; (3.当B≠0时lm f(x)limf(r)A g(r)ling(x)B
1 §2.3 极限运算的基本法则及其运用 问题: 根据极限的定义, 只能验证某个常数 A 是否为某个函数ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的 极限. 为了解决极限的计算问题, 下面介绍极限的运 算法则; 并利用这些法则和§2.1及2.2中的某些结 论来求函数极限. 一.极限的四则运算法则 定理6. 若lim ƒ(x) = A, lim g(x) = B. 则 (1). lim [ƒ(x) ± g(x)] = lim ƒ(x) ± lim g(x) = A ± B; (2). limƒ(x) · g(x) = limƒ(x) · lim g(x) = A · B; (3).当 ( ) lim ( ) 0 ,lim . ( ) lim ( ) f x f x A B g x g x B 时
其证明可用定义.以极限过程为x→x0的证明(1)为 例.由|f(x)+g(x)}(4+B)|=|(x)-4+[g(x)- B|≤lf(x)-A|+|g(x)-B|即可 (1)、(2)的推广 im∑f1(x)=∑lmf1(x i=1 lim f: (x)=l lim f:(x) i=1 (2)中g(x=c时, lim cf(x=clmf(x (2)中f(x=g(x时,limf2(x)=[limf(x) 再推广:imr"(x)=limf(xr、其中为止整数)
2 其证明可用定义. 以极限过程为x→x0的证明(1)为 例. 由|[ƒ(x)+g(x)]–(A+ B) |=|[ƒ(x) – A] +[g(x) – B]|≤|ƒ(x) – A |+|g(x) – B |即可. (1)、(2)的推广: 1 1 1 1 lim ( ) lim ( ), lim ( ) lim ( ). n n i i i i n n i i i i f x f x f x f x (2)中 g(x) = c 时, lim cƒ(x) = c limƒ(x). (2)中ƒ(x) = g(x) 时, 2 2 lim f (x) [lim f (x)] ; lim ( ) [lim ( )] . n n 再推广： f x f x 其中n为正整数
从而有多项式函数 若Pn(x)=a0x”+a1x+…+an,则 lim p(x)=P(x x→x0 有理分式函数 若F(x)=n Pn(x)anx+a1x”+…+a (x)b0xm+b1xm+…+bn 且Qn(x0)≠0, 则limF(x)=limn P,(r) P,(no) F(x0) r→ x-xo 2mn(x)2mn(ro) 例9.求 (1).lim(x2+8x-7);(4).lim( x→2 3x+1 2 6x+4 (5).lim x→1y2-5x+4 (3).lim x 3x+ 5x2+x-3 x→1x 2 (6).ir x→∞10x2+1
3 有理分式函数 1 0 1 ( ) , n n P n n x a x a x a 若 1 0 1 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) n n n n m m m m m P x a x a x a F x Q x Q x b x b x b 若 且 从而有多项式函数 0 0 lim ( ) ( ). n n x x P x P x 则 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) lim ( ). ( ) ( ) n n x x x x m m P x P x F x F x Q x Q x 则 例9. 求 2 1 2 2 1 2 2 1 ( 1 ) . l i m ( 8 7 ) ; 4 3 1 ( 2 ) . l i m ; 2 6 4 3 2 ( 3 ) . l i m ; 2 x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 2 1 (4).lim( ); 4 2 1 (5).lim ; 5 4 5 3 (6). lim . 10 1 x x x x x x x x x x x x
解(1)lim(x2+8x-7) im x tlim x im 7 1 1+8 4x 解(2)lim 12x 364 7×y x—xx lim 3x+1)8 lim(2x2-6x+4)123 解(3)加ix2-3x+2lm(x2-3x+2) 0 x-2 lim(x-x-2)
4 2 1 2 1 1 1 ( 1 ) l i m ( 8 7 ) l i m l i m 8 l i m 7 1 8 7 2 x x x x x x x x 解 2 2 1 2 1 2 1 4 3 1 ( 2 ) lim 2 6 4 lim ( 4 3 1 ) 8 2 lim ( 2 6 4 ) 1 2 3 x x x x x x x x x x x 解 2 2 1 2 2 1 1 lim( 3 2) 3 2 (3) lim 0 2 lim( 2) x x x x x x x x x x x 解
解(4)lim( )=lim te (x+2 x-2)(x+1)3 lim x→2(x-2)(x+2)4 x2-1 (x-1)(x+1)2 解(5)im2-5x+4 lim →1 1(x-1)(x-4)3 5+ 解(6)lim 5x2+x-3 Im x→∞10x2+1 x→0 10+
5 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 ) ( 4 ) lim ( ) lim 4 2 4 ( 2 )( 1) 3 lim ( 2 )( 2 ) 4 x x x x x x x x x x x x x 解 2 2 1 1 1 ( 1)( 1) 2 (5)lim lim x 5 4 x ( 1)( 4) 3 x x x x x x x 解 2 2 2 2 1 3 5 5 3 1 ( 6 ) lim lim . 1 0 1 1 2 1 0 x x x x x x x x 解