§22函数的极限 数列极限是考察数列在n→∞这一过程中的变化 总趋势(即有无极限).而对于函数y=f(x),当考察它的 变化总趋势时,因自变量的连续变化过程有许多情况, 如x→∞,x→-∞,x→0,x-xn,x→x等 如图 x→>(±)∞ y x→+00 x→)0 y=arctan x→>0 0
1 ( ) 0 0 0 x x x x + − → → → → 数列极限是考察数列在n →∞ 这一过程中的变化 总趋势(即有无极限). 而对于函数y=ƒ(x), 当考察它的 变化总趋势时, 因自变量的连续变化过程有许多情况, 如x→∞, x →-∞, x →0, x →x0 + , x→x0 - 等. §2.2函数的极限 1 y x = 如图 y x = arctan o o x x y y 0 x x x → + → − →
yy=e(x→-0,x→)+o) y=ex→-∞→+) y=nx(x→0,x→+2) x→0-,x→)y=0gx 由以上几例可看得出,同一个函数的自变量在不同 的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而有必 要分情况考察 x→+∞时函数f(x的极限 1.直观描述:对函数f(∞,当x取正值无限增大时(即x ∞),如果f(x)无限接近某常数A,则称4是函数f(x) 当x→+∞时的极限
2 x y e = ( 0 , ) x x + → → + x y e − = loga y x = (0 1) a o o x x y y x = ln ( , ) x x → − → + ( , ) x x → − → + ( 0 , ) x x → → + + 由以上几例可看得出, 同一个函数的自变量在不同 的变化过程中, 相应的函数变化趋势不一样, 因而有必 要分情况考察. 一· x →＋∞ 时函数ƒ(x)的极限 1.直观描述：对函数ƒ(x), 当x取正值无限增大时(即x →＋∞ ), 如果ƒ(x)无限接近某常数A, 则称A是函数ƒ(x) 当 x →＋∞ 时的极限
由以上几例可看得出,同一个函数的自变量在不 同的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而 有必要分情况考察 x-→0时函数f(y)的极限 1·直观描述:对函数f(x),当x取正值无限增大时(即 x→∞),如果f(x)无限接近某常数A,则称A是函数f(x 当x→)∞时的极限 结论1.函数y1x,y= arctan x,y=ex当x→∞时,以某 个确定的常数为极限而y=lx,ye,y=logx却不会与 常数任意接近
3 由以上几例可看得出, 同一个函数的自变量在不 同的变化过程中, 相应的函数变化趋势不一样, 因而 有必要分情况考察. 一· x→∞ 时函数ƒ(x)的极限 1·直观描述：对函数ƒ(x), 当x取正值无限增大时(即 x→∞ ), 如果ƒ(x)无限接近某常数A, 则称A是函数ƒ(x) 当x→∞ 时的极限. 结论1. 函数 y=1/x, y=arctan x, y=e-x 当 x→∞ 时, 以某 个确定的常数为极限.而 y=ln x, y=ex , y=logax 却不会与 常数任意接近
注:函数y=f(x)当x→∞时有极限与数列极限的不同 点在于自变量一个是连续递增的,一个是取自然数递 增的(是函数极限的特殊情形) 仿数列“ε-N定义有 2函数(“eM)定义设函数f(x,当x>a时有定义 对V>3M>0,使得当x>M时,f(x)-4|<恒成立.则 称函数f(x当x0时以A为极限记 im∫(x)=A或f(x)→A(x→+0) x→2100 则有Iim-=0, lim e=0, lim arctan x= x→1o x→+0 x→10
4 注：函数y =ƒ(x)当 x→∞ 时有极限与数列极限的不同 点在于自变量一个是连续递增的, 一个是取自然数递 增的(是函数极限的特殊情形). 2.函数(“ε—M”)定义 设函数ƒ(x),当x>a时有定义. 对 使得当x>M时,|ƒ(x)–A|< ε恒成立. 则 称函数ƒ(x)当 x→∞ 时以A为极限.记 0, 0, M lim ( ) x f x A →+ = 或 f x A x ( ) ( ). → → + 则有 1 lim 0, lim 0, lim arctan . 2 x x x x e x x − →+ →+ →+ = = = 仿数列“ε—N”定义有
几何意义 vE>0,可作两条直线=4-B 及y=A+则总存在区间(M,+∞), 当x∈(M,+∞)时,对应的函数曲A 线介于这两条直线之间 考虑 A-8 y=arctan , y=e y=Inx,y=e,y=log,x 当x→∞时,以什么为极限?极限是否存在?
5 及y =A+ε.则总存在区间(M,+∞) , 当 x→∞ 时, 以什么为极限?极限是否存在? 0, 可作两条直线y=A–ε 几何意义 x M + ( , ) o x y A+ε A A–ε M 考虑 1 , arctan , ; ln , , log x x a y y x y e x y x y e y x − = = = = = = y=ƒ(x) 当 时，对应的函数曲 线介于这两条直线之间