西南财经大学：《经济数学基础（微积分）》课程教学资源（PPT课件）第八章 多元函数的微分法及其应用 第5节 多元复合函数的微分法

§8.5多元复合函数的微分法 因多元复合函数的求导法则 在多元微积分中占有非常重要的 地位,下面将一元复合函数的求导法则推广到多元的 情形. 定义9设=f(.面l=(xy)y=(xy),z=f(o(xy),(xy) 称为xy的复合函数,并称l,v为中间变量这类二元函 数有下面的求导法则

1 情形. 设z=ƒ(u,v),而u=φ(x,y),v=Ψ(x,y),z=ƒ(φ(x,y),Ψ(x,y)) §8.5多元复合函数的微分法 因多元复合函数的求导法则 在多元微积分中占有非常重要的 定义9 称为x,y的复合函数，并称u，v为中间变量.这类二元函 数有下面的求导法则. 地位，下面将一元复合函数的求导法则推广到多元的

定理5若u=0()=x在点xy)处的偏导数a Oy O1 及 ax ax 都存在,且在对应于(xy)的点(x,y)处,函数z=f(v) 可微则复合函数z=f((xy),(xy)对x及y的偏导数都存 在,且 ax au ax ay ax 0z0z01001 u ay Ov Oy 注1此定理也可称为求导的链式法则记忆可用上图所示 的链子来记定理中的等式数为自变量的个数;每一个等 式中的项数为中间变量的个数.z到x的路径有两条,一条 是“+x”,一条是“-→x”;z到y路径也有两条 条是“y”,一条是“→p

2 都存在,且在对应于(x,y)的点(u,v)处,函数z=ƒ(u,v) , u u x y     定理5 若u=φ(x,y),v=Ψ(x,y)在点(x,y)处的偏导数 可微,则复合函数z=ƒ(φ(x,y),Ψ(x,y))对x及y的偏导数都存 在,且 , z z u z v x u x v x      =  +       . z z u z v y u y v y      =  +       y z u v x 注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示 的链子来记.定理中的等式数为自变量的个数；每一个等 式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条 是“ z→u→x”, 一条是“ z→v→x ” ; z到y路径也有两条, 一条是“ z→u→y”,一条是“ z→v→y”. , v v x x     及

∠证设y不变而x有一个改变量△x,且的相应改变量 分别为△,,△V,△x,则由2=f(4)可微,知 △,+△”+0(p)且p=√(△)2+(△,2 △2Cz△2l,z△2y,O(p △xu△y 当Ax-→0时,对此式两边取极限得 azaz a ax au ax ay a az a 同理可得 av au av a 亦可记为

3 证 设y不变而x有一个改变量∆x,且u,v,z的相应改变量 , , , x x x 分别为    u v z 则由z=ƒ(u,v)可微,知 2 2 ( ) ( ) ( ) . x x x x x z z z u v o u v u v      =  +  + =  +    且 ( ) x x x z u v z z o x u x v x x        = + +       当∆x→0时,对此式两边取极限,得 , z z u z v x u x v x      =  +       . z z u z v y u y v y      =  +       同理可得 亦可记为

此写法常用于抽象函数的微分运算 az az 例20设z=(x2+y2),求 X o1 解令u=x2+y2,v=,则z=,从而是x,y复合函数 azaz au az av Ox au ax ay a L vu In ν∠→y 0u=2×0x y dr vu-l.2x+ulna y=(r+y2-2x +yIn(x +y2) z

4 . z f u f v y u y v y      =  +       , z f u f v x u x v x      =  +       此写法常用于抽象函数的微分运算. 2 2 20 ( ) , , . xy z z z x y x y   = +   例 设 求 , , . v z u z x y = 从而 是 的复合函数 y z u v x 2 2 解 令 则 , , u x y v xy = + = , z z u z v x u x v x      =  +       1 , ln , z z v v vu u v u v   − = =   而 1 2 ln z v v vu x u u y x  =  +   −  2 , ; u v x y x x   = =   2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) [ ln( )] xy x y x y y x y x y = + + + +

az az au az av ay 而=2y,=x vn-·2y+l"lnu·x 2x1 =(x2+y2)[ +xIn(x+y)] 〓〓〓〓 日日 旨

5 z z u z v y u y v y      =  +       ， 2 , ; u v y x y y   = =   而 1 2 ln z v v vu y u u x y  =  +   −  2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) [ ln( )] xy xy x y x x y x y = + + + +