第五章不定积分 §5.1不定积分的概念和性质 §5.2基本积分表 §5.3基本积分法 §5.4有理函数及三角函数有理式的积分
1 第五章 不定积分 §5.1不定积分的概念和性质 §5.2基本积分表 §5.3基本积分法 §5.4有理函数及三角函数有理式的积分 cos xdx ?
第五章不定积分 回顾:微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数 那么,如果已知一个函数的导数,要求原来 的函数,这类问题,是微分法的逆问题.这就产 生了积分学 积分学包括两个基本部分:不定积分和定积 分.本章研究不定积分的概念、性质和基本积分 方法
2 第五章 不定积分 回顾: 微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数.” 积分学包括两个基本部分: 不定积分和定积 分. 本章研究不定积分的概念、 性质和基本积分 方法.那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来 的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产 生了积分学
§5.1不定积分的概念和性质 一原函数的定义 问题:若某一函数的导数为f(x),求这一个函数 设这函数为F(x),则F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)x 定义1设f(x)定义在区间/上,若存在函数F(x)Yx∈,有 F'(x)=f(x)i dF(x)=f(x)dx 则称F(x)是已知函数f(x)在该区间/上的一个原函数 例设(x)=cosx,则F(x)=sinx,sinx-1,…,sinx+C
3 问题: 若某一函数的导数为ƒ(x), 求这一个函数. 设这函数为F(x), 则 F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx. 则称F(x)是已知函数ƒ(x)在该区间I上的一个原函数. x I, F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx. 例 设ƒ(x) = cos x, 则F(x) = sinx, sinx–1, … , sinx+C. 一.原函数的定义 定义1 设ƒ(x)定义在区间I上, 若存在函数F(x), 有 §5.1 不定积分的概念和性质
何题:1原函数存在的条件? 2原函数的个数? 3不同的原函数之间的关系? 定理1若函数(x)在区间/上连续,则f(x)在区间/上的原函 数一定存在 (证明略) 定理2设F(x)是函数f(x)在区间上的一个原函数,则对任 何常数C,F(x)+C也是函数f(x)的原函数 证因(F(x)+C)=F(x)=f(x) 注:x)有无限多个原函数它们之间相差一个常数C即有
4 定理1 若函数ƒ(x)在区间I上连续, 则ƒ(x)在区间I上的原函 数一定存在. (证明略) 问题: 1.原函数存在的条件? 2.原函数的个数? 3.不同的原函数之间的关系? 定理2 设F(x)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数, 则对任 何常数C , F(x) + C也是函数ƒ(x)的原函数. 证 因 注:ƒ(x)有无限多个原函数.它们之间相差一个常数C.即有 (F(x) C) F(x) f (x)
定理3设Fx)和G(x)都是函数f(x)的原函数,则 F(x)-G(x)=C(常数) HE. (F(x)-G())= F(x-G(x)=f(x)f(x)=0 由拉格朗日定理知F(x)-((x)=((常数 注:当C为任意常数时,F(x)是f(x)的一个原函数,则表达 式F(x)+C可表示f(x)的任意一个原函数,即f(x)的全 体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+(<c<+ 二不定积分的定义 定义2函数f(x)的全体原函数称为(x)的不定积分.记为 (x)dx
5 定理3 设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数, 则 F(x) – G(x) ≡ C (常数) 证 (F(x) G(x)) F(x)G(x) f(x) f(x) 0 由拉格朗日定理知 F(x)G(x) C(常数) 注: 当C为任意常数时, F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则表达 式 F(x) + C 可表示 ƒ(x) 的任意一个原函数, 即ƒ(x) 的全 体原函数所组成的集合. 就是函数族 {F(x)Cc}. 二.不定积分的定义 定义2 函数ƒ(x)的全体原函数称为ƒ(x)的不定积分. 记为 f (x)dx.