§92在直角坐标系下二重积分的计算 若直接用二重积分的定义去计算它的值,将是复 杂和困难,甚至是不可能的下面利用二重积分的几 何意义来寻求二重积分的计算方法 设曲顶柱体的曲顶是=f(xy)(≥0),底是区域D D是x平面上由直线 x=a, x=b(a<b) 与曲线y=(xy=2(x) 所围成 D
1 §9.2 在直角坐标系下二重积分的计算 何意义来寻求二重积分的计算方法. 设曲顶柱体的曲顶是z=ƒ(x,y)(≥0),底是区域D, z y O x D z=ƒ(x,y) 1 ( ) x 2 ( ) x b a D是xy平面上由直线 1 2 与曲线 y x y x = = ( ), ( ) 所围成. x=a, x=b(a<b) 若直接用二重积分的定义去计算它的值，将是复 杂和困难，甚至是不可能的.下面利用二重积分的几
=2(x) G(x) 为了确定积分区域D的范围,在x轴上任取一点x,过该 点作一条垂直于x轴的直线去穿区域,与D的边界曲线 之交点不多于两个,即一进一出此区域为X一型区域 0(x)≤y≤2(x) 即D为 a≤x<b 为了确定曲顶柱体的体积V,在x轴上任取一点x,过该点
2 1 2 ( ) ( ) x y x a x b 即D为 为了确定曲顶柱体的体积V,在x轴上任取一点x,过该点 x y O 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) a x b D 为了确定积分区域D的范围, 在x轴上任取一点x,过该 点作一条垂直于x轴的直线去穿区域, 之交点不多于两个,即一进一出. 与D的边界曲线 此区域为X―型区域
作一个垂直于x轴的平面去截曲顶柱体 其截面面积设为S(x)则由定积分知: 平行切面截面面积已知的立体的 体积为定积分 V= S(x)dx 因对于区间[a,b上每一个x 固定的x,S(x)就是一个曲边梯形的面积,此曲边梯形 的曲边是由方程f(x3y)确定的关于y的一元函数, 而底边是沿着轴方向从a(x)到2(x)的线段
3 z y O x D z=ƒ(x,y) 1 ( ) x 2 ( ) x x S(x) b a 体积为定积分 则由定积分知: ( ) b a V S x dx = 因对于区间[a,b]上每一个 固定的x, S(x)就是一个曲边梯形的面积,此曲边梯形 的曲边是由方程z=ƒ(x,y)确定的关于y的一元函数, 1 2 而底边是沿着y轴方向从 ( ) ( ) x x 到 的线段. 作一个垂直于x轴的平面去截曲顶柱体; 其截面面积设为S(x), 平行切面截面面积已知的立体的
故由曲边梯形的面积公式得 02(x) S(x)=f(x, y)dy (x) q2(x)92(x) 2(x) →1f(x,y)da f(x, y)dy]dx 9,(x) 上式右端的积分称为二次积分 或称先对y再对x的累次积分常简写为 (2(x) f(x, yido 9(x)
4 z y z=ƒ(x,y) 1 ( ) x 2 ( ) x S(x) 2 1 ( ) ( ) ( , ) [ ( , ) ] b x a x D f x y d f x y dy dx = 故由曲边梯形的面积公式得 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) x x S x f x y dy = 或称先对y再对x的累次积分.常简写为 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b x a x D f x y d dx f x y dy = 上式右端的积分称为二次积分
注1此式告诉我们在计算二重积分时,首先把被积 函数(xy)中的x看成常数,将f(xy)对从1(x)到a2(x) 作定积分,此时积分的结果为(x,y)=(.变 量x的函数;再将此函数对x在区间[a,b上求定积分 注2去掉上面讨论中的限制f(xy)≥0,等式照样成立 注3在轴上任取一点过该点作一条垂直于y轴的直 线去穿区域,与D的边界曲线之 x=v() 交点不多于两个即一进一出 此区域为Y—一型区域 x=v2(y)
5 ƒ(x,y)中的x看成常数, 1 2 ( ) ( ) x x 到 此时积分的结果为 量x的函数; 2 1 ( ) ( ) ( , ) x x f x y dy 再将此函数对x在区间[a,b]上求定积分. 注2 去掉上面讨论中的限制ƒ(x,y)≥0,等式照样成立. O x D 2 x y = ( ) 1 x y = ( ) y 注1 此式告诉我们:在计算二重积分时,首先把被积 将ƒ(x,y)对y从 作定积分; 函数 =S(x)是变 在y轴上任取一点y,过该点作一条垂直于y轴的直 交点不多于两个,即一进一出. 与D的边界曲线之 此区域为Y―型区域. 注3 线去穿区域, y