§54有理函数及三角函数有理式的积分 有理函数的积分 定义3有理函数是指可以表示成两个多项式的商的形式 的函数.即 f(x) P(x)ax+a1x1+…+an Qn(x)bxm+bxm+…+bn 其中m,n是非负整数,a1(=12,…,n)与b(1=1,2,…,m)为常数 且a≠0,b0≠0.P1(x)Qn(x)互质 当n<m时,R(x)为真分式 当n≥m时,f(x)为假分式,利用多项式的除法,总可 化为一个多项式与一个真分式之和
1 §5.4 有理函数及三角函数有理式的积分 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) n n n n m m m m P x a x a x a f x Q x b x b x b ( 1, 2, , ) ( 1, 2, , ) i j a i n 与b j m 为常数 0 0 且a 0, b 0. ( ), ( ) Pn m x Q x 的函数. 即 一.有理函数的积分 定义3 有理函数是指可以表示成两个多项式的商的形式 其中m, n是非负整数, 互质. 当n m时, ƒ(x)为假分式, 利用多项式的除法, 总可 化为一个多项式与一个真分式之和. 当n < m时, R(x)为真分式;
树20f(x) 多项式的积分问题已解决,故本节重点讨论真分式的 积分法.为此需注意以下几个问题 1由代数学知,任何多项式Qn(x)在实数范围内总能分 解成一次因式和二次质因式的乘积,即 b(x-a)…(x-b)(x2+px+q)2…(x2+rx+0) 其中b,a,…b,P,q,…,F,为常数;k…,S,a2…,B为正整 数,且k+…++2a+…+2B=m1p2-4q<0,…,r2-4<0
2 4 3 3 1 ( ) 1 1 1 x x x f x x x x 例20 多项式的积分问题已解决, 故本节重点讨论真分式的 积分法. 为此需注意以下几个问题: 1.由代数学知, 任何多项式 在实数范围内总能分 解成一次因式和二次质因式的乘积, 即 ( ) Qm x 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k s Qm x b x a x b x px q x rx t 其中 为常数; k…, s‚ α ,…, β为正整 数,且 0 b , a,,b, p, q,,r,t 2 2 k s 2 2 m; p 4q 0,,r 4t 0
2任何一个真分式(x) Qm()均可唯一地分解为若干个部分 分式之和 例21求2x-1 dx 2-5x+6 解因 x 5x+6(x-3)(x-2) 设 AB追分A(x-2)+B(x-3 5x+6x-3x-2 5x+6 比较等式两端x同次幂的系数,得 A+B=2 A=5 12 . A+3B B=-3
3 2.任何一个真分式 均可唯一地分解为若干个部分 分式之和. ( ) ( ) n m P x Q x 2 2 1 5 6 x dx x x 例 求 21 解 2 2 1 2 1 5 6 ( 3)( 2) x x x x x x 因 2 2 2 1 ( 2) ( 3) 5 6 3 2 5 6 x A B A x B x x x x x x x 通分 设 比较等式两端x同次幂的系数,得 2 5 2 3 1 3 A B A A B B
x dx 5x+5 5lnlx-3-3Inlx-2+C x 例22求 dx 4x2-20x+31 解原式 dx d(2x-5 (2x-5)2+62J(2x-5)2+(6)2 x arctan +c
4 2 2 1 5 3 5 5 3 2 x dx dx dx x x x x 则 5ln x 3 3ln x 2 C 5 3 ( 3) ln 2) x C x 2 (2 5) 6 dx x 解 原式 2 4 20 31 dx x x 求 2 2 1 (2 5) 2 (2 5) ( 6) d x x 1 2 5 arctan 2 6 6 x C 例22
例23求 "+x- dx 解设 2x3+x Ax+b cx+ d 1+x2)21+x2(1+x 通分(Ax+B1+x2)+(Cx+D) x 比较等式两端x同次幂的系数,得 A=2 A=2 B=0 B=0 A+C=1 B+D=-1 D=-1
5 3 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) 1 (1 ) x x Ax B Cx D x x x 解 设 3 2 2 2 1 (1 ) x x dx x 例 求 23 比较等式两端x同次幂的系数,得 2 2 0 0 1 1 1 1 A A B B A C C B D D 22 2 ( )(1 ) ( ) (1 ) Ax B x Cx D x 通分