注：内部稳定等价于李亚普诺夫下渐近稳定结论5.4[时变系统内部稳定]线性时变（自由）系统在t.时刻内部稳定状态转移矩阵Φ(t,t)对所有时刻 tE[to,oo)有界，且lim,- Φ(t,to) = 0结论5.5[定常系统内部稳定]线性定常系统： x= Ax+Bu， x(O)= xo自由系统是内部稳定即渐近稳定←limeAt =080
注: 内部稳定等价于李亚普诺夫下渐近稳定 结论5.4 [时变系统内部稳定] 结论5.5 [定常系统内部稳定] 0 0 0 0 ( , ) [ , ) lim ( , ) 0 . t t t t t t → t t = 线性时变（自由）系统在 时刻内部稳定 状态转移矩阵 对所有时刻 有界，且 0 , (0) lim 0 At t x Ax Bu x x e → = + = = 线性定常系统: 自由系统是内部稳定即渐近稳定
结论5.6[线性定常系统]线性定常（自由）系统内部稳定（渐近稳定）的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部，即Re{a,(A))<0 ,i=1,2,...,n其中n 为系统的维数。注：当矩阵A给定后，则可导出其特征多项式α(s) = det(sI - A) = s" +αn-isn-" +...+αs + αo利用劳斯一霍尔维茨判据，直接由系数α,(i=0,l,n-1)来判断系统的渐近稳定性
结论5.6 [线性定常系统] 线性定常(自由)系统内部稳定(渐近稳定)的充分必要条件是 矩阵 A 的所有特征值均具有负实部，即 Re ( ) 0 , 1,2, , i A i n = 1 1 1 0 ( ) det( ) n n n s sI A s s s − − = + + + + − 其中 为系统的维数。 注: 当矩阵 A 给定后，则可导出其特征多项式 n ( 0,1, , 1) i 利用劳斯—霍尔维茨判据，直接由系数 i n = − 来判断系统的渐近稳定性
内部稳定性和外部稳定性间的关系结论5.7[内部稳定性和外部稳定性关系]：则其必是BIBO稳定。设线性定常系统是内部稳定的，证：考虑系统x= Ax+ Bu, x(O)= xo, t ≥0y= Cx+ Du脉冲响应矩阵：H(t)=CeAtB+DS(t)因为系统内部稳定，必有：eAt有界且limeAt=0t>00因此，H(t)的所有元素满足[.1 h, (t)| dt ≤ k <00.从而，系统BIBO稳定
➢内部稳定性和外部稳定性间的关系 结论 5.7 [内部稳定性和外部稳定性关系]： 设线性定常系统是内部稳定的，则其必是 B I B O稳定。 0 (0) 0 x Ax Bu x x t y Cx Du = + = = + ： 考虑系统 ， ， 证 0 ( ) ( ). lim 0. ( ) | ( ) | . BIBO At At At t ij H t Ce B D t e e H t h t dt k → = + = 脉冲响应矩阵： 因为系统内部稳定，必有： 有界且 因此， 的所有元素满足 从而，系统 稳定
结论5.8[内部稳定性和外部稳定性关系]：线性定常系统是BIBO稳定的（外部稳定），不能保证系统是内部稳定即渐近稳定。结论5.9[内部稳定性和外部稳定性关系]：如果线性定常系统为联合完全能控和完全能观测的，则系统内部稳定当且仅当系统外部稳定
结论 5.8 [内部稳定性和外部稳定性关系]： 线性定常系统是 B I B O 稳定的（外部稳定），不能保证 系统是内部稳定即渐近稳定。 结论 5.9 [内部稳定性和外部稳定性关系]： 如果线性定常系统为联合完全能控和完全能观测的，则 系统内部稳定当且仅当系统外部稳定
5.2李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念李亚普诺夫第一方法和第二方法自由系统、平衡点和受扰运动李亚普诺夫意义下的稳定渐近稳定不稳定
➢ 李亚普诺夫第一方法和第二方法 ➢ 自由系统、平衡点和受扰运动 ➢ 李亚普诺夫意义下的稳定 ➢ 渐近稳定 ➢ 不稳定 5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的 一些基本概念