李亚普诺夫第一方法和第二方法又称李亚普诺夫间接方法李亚普诺夫第一方法：根据基本思想：在小范围内将系统作一次线性化近似，线性化系统的稳定性推断非线性系统的稳定性，李亚普诺夫第二方法：又称李亚普诺夫直接方法基本思想：引入李亚普诺夫函数文（广义能量函数），根据全导数的符号判断系统的稳定性。特点：直观、严谨，是目前分析非线性系统稳定性的主要方法
➢李亚普诺夫第一方法和第二方法 ➢ 李亚普诺夫第一方法：又称李亚普诺夫间接方法 基本思想：在小范围内将系统作一次线性化近似，根据 线性化系统的稳定性推断非线性系统的稳定性。 ➢ 李亚普诺夫第二方法：又称李亚普诺夫直接方法 基本思想：引入李亚普诺夫函数（广义能量函数），根据全 导数的符号判断系统的稳定性。 特点：直观、严谨，是目前分析非线性系统稳定性的主要方 法
自由系统、平衡态、受扰运动自由系统非线性系统： x=f(x,t)没有外部输入作用的系统线性系统： x= A(t)x, x= Ax受扰运动动态系统的受扰运动定义为其自由系统由初始状态引起的一类状态运动，即状态的零输入响应。由初始状态x。所引起的运动又常记为：Xou =d(t;Xo,to) , t≥tod(to; Xo,to) = xo
➢自由系统、平衡态、受扰运动 没有外部输入作用的系统。 ◆ 受扰运动 动态系统的受扰运动定义为其自由系统由初始状态引 起的一类状态运动，即状态的零输入响应。 ◆自由系统 ( , ) ( ) , x f x t x A t x x Ax = = = 非线性系统： 线性系统： 0 x 0u 0 0 0 x t x t t t = ( ; , ) , 由初始状态 所引起的运动又常记为： 0 0 0 0 ( ; , ) t x t x =
平衡状态如果存在某个状态x。，使成立x。=f(xe,t)=O Vt ≥to则称x。为系统的一个平衡状态（平衡点）。注：1）若x。=O0，则原点为系统的一个平衡状态。通过坐标平移可将平衡点转换为空间的原点。平衡点（态）可通过解方程求得：f(x,t)=020平衡点不惟一，孤立平衡点（主要研究情形）3
注：1）若 ，则原点为系统的一个平衡状态。 则称 为系统的一个平衡状态（平衡点）。 0 ( , ) 0 , x f x t t t e e = = e x ◆平衡状态 如果存在某个状态 ，使成立 2）平衡点（态）可通过解方程求得： xe = 0 e x 通过坐标平移可将平衡点转换为空间的原点。 3）平衡点不惟一，孤立平衡点（主要研究情形） f x t ( , ) 0 =
李亚普诺夫意义下的稳定定义3.7[李亚普诺夫意义下的稳定stablei.s.L]X(t) = f[X(t),t], X(to) = Xo, t e[to, 0)设X为系统的一个平衡点，则称X。在 t,时刻在李亚普诺夫意义下是稳定的，如果对任给的实数ε>0，都存在一个实数S(ε,t)>0，使得由满足不等式X。-Xe≤(s,to)的任一初态X。出发的受扰运动都满足不等式：X(t;Xo,to)-Xe≤ ,Vt ≥to
都存在一个实数 ，使得由满足不等式 在李亚普诺夫意义下是稳定的，如果对任给的实数 ， X e ➢ 李亚普诺夫意义下的稳定 设 为系统的一个平衡点，则称 在 时刻 0 ( , ) 0 t 的任一初态 出发的受扰运动都满足不等式： 0 0 ( , ) X X t − e 0 0 0 ( ; , ) , X t X t X t t e − X0 0 0 0 0 X t f X t t X t X t t ( ) [ ( ), ], ( ) , [ , ) = = 定义3.7 [李亚普诺夫意义下的稳定 stable i.s.L] 0 t X e
注：1）几何含义：S(ε)S(8)X(t,Xo,to)H()李亚普诺夫意义下的稳定性只能保证系统受扰运动相对于平衡点的有界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡点的渐近性
S( ) S( ) H( ) 0 0 X t X t ( ; , ) X0 X e 注：1）几何含义： 李亚普诺夫意义下的稳定性只能保证系统受扰运动相对 于平衡点的有界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡 点的渐近性