证明：分成两步来证明首先，考虑p=9 =1，即单输入一单输出的情况。[' |h(t,t)ldt ≤ k <o0成立,先证充分性：已知且任意输入u(t)满足 u(t)|≤k <0,t [fo,)那么利用由脉冲响应函数h(t,）表示输出 (t)得[(0)|=[" h(,T)u(t)dt≤ h(, )lu(t)]dt<k [" h(t,t)]dt ≤kik= k, <00由定义知：系统为BIBO稳定
首先，考虑 ，即单输入—单输出的情况。 证明 ：分成两步来证明 p q = =1 先证充分性 ：已知 成立， 0 0 0 1 1 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) t t t t t t y t h t u d h t u d k h t d k k k = = 且任意输入 满足 0 ( , ) t t h t d k 得 那么利用由脉冲响应函数 表示输出 u t( ) 由定义知：系统为 B I B O 稳定。 u t k t t ( ) , , 1 0 ) h t( , ) y t( )
证必要性：采用反证法，已知系统BIBO稳定设存在某个t, E[to，），使[" |h(t, t)]dt = 00定义如下有界输入+1,h(ti,t) >00.h(ti,t) = 0u(t) = sgnh(ti,t) = 3-1,h(ti,t)<0考察由它作用下所产生的输出(t)，易知y(t)= [" h(t,T)u(t)dt = ["|h(t1,T)]dt = 00表明输出无界，与BIBO稳定相矛盾。从而"h(t,t)]dt≤k<00, Vte[to, 0)
证必要性 ：采用反证法，已知系统B I B O 稳定 t t 1 0 , ) 使 1 1 0 0 1 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) t t t t y t h t u d h t d = = = 定义如下有界输入 1 0 ( , ) t t h t d = 从而 表明输出无界，与 B I B O 稳定相矛盾。 1 1 1 1 1, ( , ) 0 ( ) sgn ( , ) 0, ( , ) 0 1, ( , ) 0 h t t u t h t t h t t h t t + = = = − 考察由它作用下所产生的输出 y t( ) ，易知 ) 0 0 ( , ) , , t t h t d k t t 设存在某个
多输入一多输出情况系统输出 y(t)的分量 y,(t)满足关系式[y(0)] =['[h(t,t)u(t) +..+ h,(t,t)u,(t) dt'" h,(t,t)u(t)dt|+...+[" hp(t, t)u,(t)dt且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用SISO情形，可证得此结论
y t( ) 多输入—多输出情况 系统输出 的分量 y t i ( ) 满足关系式 0 0 0 1 1 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) t i i ip p t t t i ip p t t y t h t u h t u d h t u d h t u d = + + + + 且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用SISO 情形，可证得此结论
x = Ax + Bu结论5.2[定常系统]y=Cx+Du x(0)=0令初始时刻to=0，对于零初始条件的线性定常系统，H(t)为其脉冲响应矩阵，，G(s)为其传递函数矩阵，则系统为BIBO稳定存在一个有限正数k ，使 H(t）的每一个元h,(t)J。|h,(t)]dt ≤ k< 80(s)（真或严格真）的所有极点均具有负实部
结论 5.2 [ 定常系统 ] 0 ( ) h t dt k ij 则系统为 B I B O 稳定 k G s( ) ( ) 存在一个有限正数 ， 使 的每一个元 h t ij 0 对于零初始条件的线性定常系统，令初始时刻 t = 0 ， G s( ) （真或严格真） 的所有极点均具有负实部 H t( ) 为其脉冲响应矩阵， 为其传递函数矩阵， H t( ) (0) 0 x Ax Bu y Cx Du x = + = + =
内部稳定对于线性时变系统x = A(t)x + B(t)uy= C(t)x + D(t)ux(to) = xo定义5.2[内部稳定]如果外输入u(t)=O，由任意非零xo引起的零输入响应Xou (t)满足关系式：lim Xou (t)= 0t>80则称系统在时刻to是内部稳定的
对于线性时变系统 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x A t x B t u y C t x D t u x t x = + = + = 0 ( ) u x t u t( ) 0 定义5.2 [内部稳定] 如果外输入 ，由任意非零 引起的零输入响应 满足关系式： 则称系统在时刻 是内部稳定的。 ➢ 内部稳定 0 x 0 lim ( ) 0 u t x t → = 0 t