C2上的酉矩阵酉变换的生成元讨论生成元的目的是：将酉变换的生成元对应于厄米算子；生成元之间的对易关系构成了Lie代数简单地，设酉算子U的参数是S，即U(s)，构成单参数Lie群.有单位元，满足乘法规则，有逆元，即U(0) = 1, U(si)U(s2) = U(si + s2), U-1(s) = U(-s) = Ut(s),分析生成元就是考虑无穷小变换.设s→0dUU(s) = 1 +s+ds Is=0dut[dUUut = 1+Sdsds=0(3)dU是反厄密的..dsIs=0dU=iK,K= Kt.ds$=0K是U(s)的生成元.有限大小的酉变换U(s）可以表示为U(s) =eisK在以后的讨论中，K可以是Hamiltonian，动量，角动量，酉变换的参数可以不只一个，以前说过，C2上的SU(2)变换可以表示为U(4)a/2 + [6/2 = 1而U(2）变换多了一个相因子ei%.以下我们主要讨论SU(2)变换（4).将它重新表示为sinaeincosaeisaeo,]U:(5)2cosQe-isinae-in接着，如果将（3）式所示过程用于上述形式的U推导出生成元，那么只能得到两个生成元（自已算一下).原因在于，在参数空间的某些区域，（5）式的参数化形式与群操作不是一一对应的．单位变换对应于α=0,=0,0≤n<2元.因此，不能从这一形式中得到变换的生成元.为了得到SU(2）变换的生成元，采用如下形式的参数表示.在（4)式中，a=a1+ia2，b=b1+ib2，6
C 2 上的酉矩阵 酉变换的生成元 讨论生成元的目的是: 将酉变换的生成元对应于厄米算子; 生成元之间的对易关 系构成了 Lie 代数. 简单地, 设酉算子 𝑈 的参数是 𝑠, 即 𝑈(𝑠), 构成单参数 Lie 群. 有单位元, 满足乘法规则, 有逆元, 即 𝑈(0) = ✶, 𝑈(𝑠1)𝑈(𝑠2) = 𝑈(𝑠1 + 𝑠2), 𝑈 −1 (𝑠) = 𝑈(−𝑠) = 𝑈 † (𝑠). 分析生成元就是考虑无穷小变换. 设 𝑠 → 0, 𝑈(𝑠) = ✶ + 𝑑𝑈 𝑑𝑠 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑠=0 𝑠 + · · · . 𝑈𝑈† = ✶ + [︂ 𝑑𝑈 𝑑𝑠 + 𝑑𝑈† 𝑑𝑠 ]︂⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑠=0 𝑠 + · · · . ∴ 𝑑𝑈 𝑑𝑠 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑠=0 是反厄密的. 𝑑𝑈 𝑑𝑠 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑠=0 = 𝑖𝐾, 𝐾 = 𝐾† . (3) 𝐾 是 𝑈(𝑠) 的生成元. 有限大小的酉变换 𝑈(𝑠) 可以表示为 𝑈(𝑠) = 𝑒 𝑖𝑠𝐾 在以后的讨论中, 𝐾 可以是 Hamiltonian, 动量, 角动量. 酉变换的参数可以不只一个. 以前说过, C 2 上的 SU(2) 变换可以表示为 𝑈 = ⎛ ⎝ 𝑎 𝑏 −𝑏 * 𝑎 * ⎞ ⎠ , |𝑎| 2 + |𝑏| 2 = 1 (4) 而 U(2) 变换多了一个相因子 𝑒 𝑖𝛾 . 以下我们主要讨论 SU(2) 变换 (4). 将它重新表示为 𝑈 = ⎛ ⎝ cos 𝛼𝑒𝑖𝜉 sin 𝛼𝑒𝑖𝜂 − sin 𝛼𝑒−𝑖𝜂 cos 𝛼𝑒−𝑖𝜉 ⎞ ⎠ , 𝛼 ∈ [︁ 0, 𝜋 2 ]︁ (5) 接着, 如果将 (3) 式所示过程用于上述形式的 𝑈 推导出生成元, 那么只能得到两个生成元 (自己算 一下). 原因在于, 在参数空间的某些区域, (5) 式的参数化形式与群操作不是一一对应的. 单位变换 对应于 𝛼 = 0, 𝜉 = 0, 0 6 𝜂 < 2𝜋. 因此, 不能从这一形式中得到变换的生成元. 为了得到 SU(2) 变换的生成元, 采用如下形式的参数表示. 在 (4) 式中, 𝑎 = 𝑎1 + 𝑖𝑎2, 𝑏 = 𝑏1 + 𝑖𝑏2, 6
其中a1,a2,b1,b2都是实数，并且az++b+b=1,令11br=22,b2=a2=23,22++)11当然，这些需满足++≤4.单位变换唯一地对应于1=2=3=0.接着可以得到如下三个生成元，，Gz=( )，Ga=(。G1这几个生成元是反厄密的，乘以一i，变为厄密的，对应于Pauli矩阵，对易关系是[%%]=12.2]C2上的酉变换都可以视为旋转变换，原因是：·C?上的任意一个厄密矩阵本质上是n·α=on·酉变换（5）的三个生成元的对易关系满足角动量的三个分量之间的对易关系，当空间的维数>2，就没有这样的结论了，C2上的酉矩阵前面说过，C2上的酉变换可以表示为cos Qe'ssinaeiUcosae-sinae-in这是SU(2）变换，如果再添上一个整体相因子，就构成了U(2)变换前面还说过，在C2空间中，任意的厄密矩阵本质上都对应于某个αn，因此，C2上的酉变换都可以视为旋转变换，变换的生成元是on.首先考虑一个相对简单的变换，绕2轴转动角度Φ，这句话的数学表示是U(z，）=e-冲，我们希望将它写为容易计算的矩阵形式U(z,9) = e-i号0:(-i)20(-i)31 +(-i)T-0-2!23!7
其中 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 都是实数, 并且 𝑎 2 1 + 𝑎 2 2 + 𝑏 2 1 + 𝑏 2 2 = 1, 令 𝑎2 = 1 2 𝑥3, 𝑏1 = 1 2 𝑥2, 𝑏2 = 1 2 𝑥1 𝑎1 = √︂ 1 − 1 4 (𝑥 2 1 + 𝑥 2 2 + 𝑥 2 3 ) 当然, 这些 𝑥𝑖 需满足 𝑥 2 1 + 𝑥 2 2 + 𝑥 2 3 6 4. 单位变换唯一地对应于 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 0. 接着可以得到如下三个生成元, 𝐺1 = 1 2 ⎛ ⎝ 0 𝑖 𝑖 0 ⎞ ⎠ , 𝐺2 = 1 2 ⎛ ⎝ 0 1 −1 0 ⎞ ⎠ , 𝐺3 = 1 2 ⎛ ⎝ 𝑖 0 0 −𝑖 ⎞ ⎠ , 这几个生成元是反厄密的, 乘以 −𝑖, 变为厄密的, 对应于 Pauli 矩阵, 对易关系是 [︁ 𝜎𝑥 2 , 𝜎𝑦 2 ]︁ = 𝑖 𝜎𝑧 2 , · · · · · · C 2 上的酉变换都可以视为旋转变换, 原因是: • C 2 上的任意一个厄密矩阵本质上是 𝑛 · 𝜎 = 𝜎𝑛. • 酉变换 (5) 的三个生成元的对易关系满足角动量的三个分量之间的对易关系. 当空间的维数 > 2, 就没有这样的结论了. C 2 上的酉矩阵 前面说过, C 2 上的酉变换可以表示为 𝑈 = ⎛ ⎝ cos 𝛼𝑒𝑖𝜉 sin 𝛼𝑒𝑖𝜂 − sin 𝛼𝑒−𝑖𝜂 cos 𝛼𝑒−𝑖𝜉 ⎞ ⎠ , 𝛼 ∈ [︁ 0, 𝜋 2 ]︁ 这是 SU(2) 变换, 如果再添上一个整体相因子, 就构成了 U(2) 变换. 前面还说过, 在 C 2 空间中, 任意的厄密矩阵本质上都对应于某个 𝜎𝑛, 因此, C 2 上的酉变换都可以 视为旋转变换, 变换的生成元是 1 2 𝜎𝑛. 首先考虑一个相对简单的变换, 绕 𝑧 轴转动角度 𝜑, 这句话的数学表示是 𝑈(𝑧, 𝜑) = 𝑒 −𝑖𝜑 𝜎𝑧 2 , 我们希 望将它写为容易计算的矩阵形式 𝑈(𝑧, 𝜑) = 𝑒 −𝑖 𝜑 2 𝜎𝑧 = ✶ + (−𝑖) 𝜑 2 𝜎𝑧 + (−𝑖) 2 2! (︂ 𝜑 2 )︂2 𝜎 2 𝑧 + (−𝑖) 3 3! (︂ 𝜑 2 )︂3 𝜎 3 𝑧 + · · · 7