(4)称v(x)是具无限小上界的,若存在正定函数 v(使得)e即mn:9)=0对 t致。 例:(x,)=x2+x2不具无限小上界,只要取/1 而v(x,1)=x2+sit:x2具无限小上界,只要取 (x)x1+x2 即可 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
2 2 1 2 2 2 1 v(x , )t x tx t x 例： = + = 不具无限小上界，只要取 ； 0 4 ( , ) ( ) ( , ) £ = ( ) lim ® ( , ) 0 （ ）称 是具无限小上界的，若存在正定函数 ，使得 ，即 对 一致。 x v x t w x v x t w x v x t t 2 2 1 2 而 具 v x( ,t) = x + × sint x 无限小上界，只要取 2 2 1 2 w( ) x =x x + 即可。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
二、几个主要定理 本节讨论方程 x=f(x,t)∈R",f(0,t)=0; 或 f(x).f(0)=0(8-39 nyf(x,1)=[612… 关于平衡状态x=0的稳定性 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
本节讨论方程 关于平衡状态 x = 0 的稳定性。 ( , ) R (0, ) 0; n x& = f x t Î = ， f t 二、几个主要定理 1 2 1 2 [ , , , ] , ( , ) [ , , , ] T T n n x = = x x L L x f x t f f f 或 x& = f ( x ), f ( 0 ) = 0 (8-39) PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
首先,对函数v(x)沿方程(8-39)解对时间t求导数: dv( av(x)d3 Ov(x) x VIx (x)f2(x)av( PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i dv x v x dx v x f x dt x dt x = = ¶ ¶ = = ¶ ¶ å å 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T n n f x v x v x v x f x v x f x x x x x f x é ù ê ú é ù ¶ ¶ ¶ ¶é ù = = ê ú ê ú ê ú ¶ ¶ ¶ ¶ ê ú ë û ë û ê ú ë û L M 首先，对函数 v(x) 沿方程(8-39)解对时间 t 求导数： PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
定理820*( cyapuno,1892) xl正定(负定),且沿方程(8-39) x=f(x,f0)=0(8-39 的始于x、t的运动的导数 的八人、ov(0\(x)078(x)0≌0)(8-40 at ax 则(8-39)的零解i.L稳定。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
v(x,t)正定（负定），且沿方程（8-39） 则（8-39）的零解i.s.L稳定。 定理8-20*（Lyapunov,1892)： 的始于x、t 的运动的导数 x& = f ( x ), f ( 0 ) = 0 (8-39) å= £ ³ ¶ ¶ + ¶ ¶ ÷ = ø ö ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = n i i i T f ( x,t ) ( ) x v t v f ( x,t ) x v t v v( x,t ) 1 & 0 0 (8-40) PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
注 l)这是一个充分条件 2)若不显含,从而v不显含,则结论为 a)=()(x)=∑()≤0e0 这里,x=f(x),f(0)=0 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
注： 1) 这是一个充分条件； 2) 若f不显含t,从而 v 不显含t，则结论为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0( 0) = ¶ ¶ = = £ ³ ¶ ¶ & å n T i i i v v v x f x f x x x 这 里 ， x& = = f (x f ), (0 ) 0 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/