正定函数wx)=C1>0的等值线示意图:这是一族 闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的 曲线。C1<C2<C3<C<C5<C6<C7 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 wwvyfineprint,com,cn
正定函数 v(x) = Ci > 0 的等值线示意图：这是一族 闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的 曲线。 C1＜C234 ＜C ＜C ＜C5＜ ＜C C 6 7 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn ÿÿÿ
符号函数的定义 我们首先考察定义在|<9≥t上的时变量实值 函数U(x,t)这里,92>0,并假定v(x,t)为单值连续的, 且当x=0时,v(0,t)=0。例如 v(x,1)=,(xi+x2)210>0 1+t 就是这样的函数 定义7-12 0)若不显含只是的函数,9时有)00 且v(x)=0有非零解≠0,则称(x)为常正(常负)函数 例:(x)=x2+x2-22是一个常正函数 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v, fineprint,com,cn
一、符号函数的定义 0 , ( , ), 0 ( , ) (0, ) 0 u < W ³ W > = 我们首先考察定义在 上的时变量实值 函数 这里， ，并假定 为单值连续的， 且当 =0时， 。例如 x t t x t v x t x v t 1 ) 0( 0), ) 0 ( ) ( v t x x v x v x x v x <W ³ £ = ¹ （）若 不显含 ,只是 的函数，当 时有（ 且（ 有非零解 0,则称 为常正 常负）函数。 定义7-12 2 2 2 1 2 0 1 ( , ) ( ), 0 1 = + ³ > + v x t x x t t t 就是这样的函数。 2 2 1 2 1 2 例：v(x ) 2 = x + - x x x 是一个常正函数。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn //
若当0<9时有v(x)>0<0,且vx)=0仅有零 解x=0,则称v(x)正定(负定)函数。 常正(负)函数又称为半正(负)定函数。常正 常负函数统称常号函数。 例:v(x)=x2+x2是一个正定函数 2)若(x)在120<9上恒有(x)≥(0) 则称yx)为常正(常负)函数。 例:v(x,) +x21216050就是一个常正函数 1+ 注意到在这个例子中lm,yv1)=0 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
) 0( 0) ) 0 ) x v x v x x v x 若当0< < W时有（ ， > < = 且（ 仅有零 解 =0,则称（ 为正定（负定）函数。 2 2 1 2 例：v( ) x = + x x 是一个正定函数。 0 （2）若v(x ,t)在t ³ t ,x < W上恒有v(x t, ) ³ £ 0( 0), 2 2 2 1 2 0 1 ( , ) ( ), 0 1 v x t x x t t t = + ³ > + 例： 就是一个常正函数。 注意到在这个例子中limt ®¥ v(x t, ) 0 = 。 常正（负）函数又称为半正（负）定函 负 数统 数 号 数 。 称 常正、 常 函 常函。 则称 为 v(x t, ) ( 常正 常负）函数。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
若当<92存在正定函数(x,使得对于1≥1 成立v(x,)2y(x),则称v(x,1)为正定函数; 若对于t≥t0,成立vx,1)≤-(x,则称v(x,t 为负定函数。 例:g:)=(+)x2+x:)21>0.正定,只要 取(x)=x2+x2就可看出。 正定、负定函数统称定号函数。 (3)不是常号和定号函数的函数统称变号函数。 例:v(x)=x1x2是变号函数。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) x w x t t v x t w x v x t < W ³ ³ 若当 存在正定函数 ，使得对于 成立 ，则称 为正定函数； 2 2 2 1 2 0 2 2 1 2 1 ( , ) (1 )( ), 0, 1 ( ) v x t x x t t t w x x x = + + ³ > + = + 正定，只要 取 就可看出。 例： 正定、负定函数统称定 函号 数。 （3）不是常号 号 和定 函数的函 函 数统称变号 数。 1 2 例：v ( ) x = x x 是变号函数。 0 若对于t ³ t ，成立v(x ,t) £ -w(x )，则称v(x t, ) 为负定函数。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
例:变号v(x1,x2)=x2 正定和常正函数的例子: 例:n(t)=(a+e)x2+x2)(a>0)是1≥1>0上的正定 函数。 例:v(x1)=e(x2+x2)是≥t>0上的常正(半正定) 函数。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 wwvyfineprint,com,cn
ε 例： 变号 v(x1 , x2 ) = x1 x2 x1 x2 + + － － 2 2 1 2 0 ( , ) ( )( ) 0) 0 t v x t a e x x a t t - = + + （ 是 > ³ > 上的 。 ： 正定 函数 例 2 2 1 2 0 ( , ) ( ) 0 t v x t e x x t t - ： = + 是 ³ > 上的常正（半正定） 函数。 例 正定和常正函数的例子： PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn ÿÿÿ