因为中=xm 所以xax+=f(a) du 分离变量,得 d x f(u)-ux 若u-fu)=0,两端积分,得 d x+Inc du f(u)-u·x 于是,得x=cef(a 将变量还原,便可得原方程的通解 例5求方程中 42,/y,y的通解 解令∥=y,即y=ax则得中=x+n d 代入原方程,得x4=2m
6 ( ) du x u f u dx 所以 1 ( ) du dx f u u x 分离变量, 得 若 u- f(u)≠0, 两端积分, 得 1 ln ( ) du dx c f u u x ( ) du f u u x ce 于是, 得 将变量还原, 便可得原方程的通解. 例5 求方程 2 dy y y dx x x 的通解. dy du x u dx dx 因为 解 令 , y u y ux x 即 代入原方程, 得 则得 dy du x u dx dx 2 du x u dx
分离变量,得 dx 2√ux 两端积分,得 +Inc 于是√u=lnx+c 将u=代入上式,并化简得方程的通解为 y=x(nx+c) 例6求方程x=y(mny-lnx)的通解 解将方程恒等变形为Φ〕 de 令=",即y=ax则得=xm+a dx dx
7 分离变量, 得 2 du dx u x 两端积分, 得 ln 2 du dx c u x 于是 u ln x c y u x 将 代入上式, 并化简得方程的通解为 2 y x(ln x c) 例6 求方程 (ln ln ) 的通解. dy x y y x dx 解 将方程恒等变形 ln dy y y dx x x 为 , y u y ux x 令 即 则得 dy du x u dx dx