思考题 设曲线y=∫(x)过原点及点(2,3),且f(x) 上为单调函数,并具有连续导数,今在曲线上任 午取一点作两坐标轴的平行线,其中一条平行线 与x轴和曲线y=f(x)围成的面积是另一条平 行线与y轴和曲线y=f(x)围成的面积的两 倍,求曲线方程 上页
思考题 设曲线 y = f ( x)过原点及点(2,3)，且 f ( x) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线 与x轴和曲线 y = f ( x)围成的面积是另一条平 行线与 y 轴和曲线 y = f ( x)围成的面积的两 倍，求曲线方程
思考题解答 y=∫(x) S2=2S1 (x,y) S2=f(x)dc S 2 S,=xy-S2=xy f(x)dx 0 Jo f(x)dx=2[xy-Sf(x)dxI x →35「()k=2y,两边同时对x求导 上页
思考题解答 S1 S2 x y o y = f (x) S2 = 2S1 (x, y) = x S f x dx 0 2 ( ) = − = − x S xy S xy f x dx 0 1 2 ( ) ( ) 2[ ( ) ] 0 0 = − x x f x dx xy f x dx 3 ( ) 2 , 0 f x dx xy x = 两边同时对 x 求导
3f(x)=2y+2xy→2xy'=y 积分得y2=cx, 9 王、因为(x)为单 因为曲线y=f(x)过点(2,3)→C= 9 3 所求曲线为y=√2 2x 2 上页
3 f (x) = 2 y + 2xy 2xy = y 积分得 , 2 y = cx 因为曲线y = f (x)过点(2,3) 2 9 c = , 2 2 9 y = x 因为 f (x)为单调函数 所以所求曲线为 2 . 2 3 y = x
练习题 、填空题: 1、由曲线y=ex,y=e乃轴所围成平面区域的面积 是 2、由曲线y=3-x2及直线y=2x所围成平面区域的 面积是 3、由曲线y=x√1-x2,y=1,x=-1,x=1所围成 平面区域的面积是 4、计算y2=2x与y=x-4所围的区域面积时,选用 作变量较为简捷 5、由曲线y=e,y=e与直线x=1所围成平面区 域的面积是 上页
一、填空题： 1、由曲线 y e y e x = , = 及y 轴所围成平面区域的面积 是______________ . 2、由曲线 2 y = 3 − x 及直线y = 2x 所围成平面区域的 面积是_____ . 3、由曲线 1 , 1 , 1 , 1 2 y = x − x y = x = − x = 所围成 平面区域的面积是_______ . 4、计算 y 2x 2 = 与y = x − 4所围的区域面积时，选用 ____作变量较为简捷 . 5、由曲线 x x y e y e − = , = 与直线x = 1 所围成平面区 域的面积是_________ . 练 习 题
6曲线y=x2与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积S,其中一条切线与曲线相切于点 A(a,a2),a>0,则当=时,面移最小 、求由下列各曲线所围成的图形的面积: y=与直线y=x及x=2; 2、y=x2与直线y=x及y=2x; 3、r=2a(2+cos); 4、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2n)及 轴 5、r=3c0s6及r=1+cos的公共部分; 6、笛卡尔叶形线x3+y3+3ay. 上页
6 曲线 2 y = x 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积S ，其中一条切线与曲线相切于点 ( , ) 2 A a a ，a 0，则当a = __时，面积S 最小 . 二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1、 x y 1 = 与直线y = x 及x = 2； 2、y = 2 x 与直线y = x 及y = 2x ； 3、 r = 2a ( 2 + cos )； 4、摆线x = a(t − sin t) , y = a(1 − cost)(0 t 2 ) 及 x轴； 5、r = 3cos 及r = 1 + cos 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线x y 3axy 3 3 + +