在腔中，可以将E，时空分离，得到一系列模式：这些模式不管有无电磁场都存在，不论有没有被激发都存在（提问）对于其中一个模式，分离变量后可以得到Exαu(z)eivjt再代入波动方程就有vd2uzu= 0dz2它的解为u;(z) = A,sin(k;z)。由边界条件Exlz=0 =Exlz=L = 0又有kj ==,j = 1,2
7 l 在腔中，可以将�&时空分离，得到一系列模式：这些模 式不管有无电磁场都存在，不论有没有被激发都存在 （提问） l 对于其中一个模式，分离变量后可以得到�& ∝ � � �+�!# ， 再代入波动方程就有 �%� ��% + �- % �% � = 0 它的解为�- � = ��sin(�-�)。由边界条件�&|'() = �&|'(* = 0又有�- = �! . = /- * ,� = 1,2,
下面引入9来描述电场，引入9是为了将电磁场能量写成我们熟悉的谐振子能量的形式，即：Ex(z,t)=Z;qj(t)A,sin(kjz)这样腔中电磁模式的电场能量就是2=co[Ajq;(t) sin(k;z)]"dvAjq;(t) sin(kjz)1iO(t)A=Afqi(t)1其中A为腔x-v面的截面积，还用到不同模式间正交的特性： sin(kjz) sin(kiz) dz = 8ij要使这个能量与谐振子模式的势能Z,mjyq一致，mj=11/22vim需要取A，和系统有关的常数V&o8
8 l 下面引入�+来描述电场，引入�+是为了将电磁场能量写成我们熟悉的 谐振子能量的形式，即：�# �,� = ∑+ �+ � �+ sin(�+�) 这样腔中电磁模式的电场能量就是 1 2 & ! �" A + �+�+ � sin(�+�) $ �� = 1 2A + & ! �" �+�+ � sin(�+�) $ �� = �" 2 A + �+ $�+ $ � B � 2 B � = �" 2 � 2A + �+ $�+ $ � 其中�为腔x-y面的截面积，还用到不同模式间正交的特性： ∫" , sin(�+�) sin(�-�) dz = , $ �-+ 要使这个能量与谐振子模式的势能∑+ ( $ �+�+ $�+ $一致， �+=1 需要取�+ = $.� �'$ !/% (/$ ，和系统有关的常数
aDHy(z,t)则可以通过VxH=来得到：因为只有Ex，所at以只有H,存在toZHy(z,t) =A; cos(k;z)2ki回代到哈密顿量，得到形式上与谐振子相同的HZH(mjv2qj +mjqj?)=i至此，通过电磁场模式，与谐振子哈密顿量之间的联系就找到了（Q1：模式去哪里了？有没有拼凑的嫌疑？）以上全是经典的结果9
9 l �0 �,� 则可以通过∇×� = !" !#来得到：因为只有�&，所 以只有�0存在 �0 �,� = L - �)�̇ - �- �- cos(�-�) l 回代到哈密顿量，得到形式上与谐振子相同的ℋ ℋ = 1 2L - （�-�- ��- % + �-�̇ - %） 至此，通过电磁场模式，与谐振子哈密顿量之间的 联系就找到了 (Q1: 模式去哪里了？有没有拼凑的嫌疑？） 以上全是经典的结果
给出对易关系（以下与谐振子量子化过程相同）[qj,Pj]=di'，这里的h就是量子与经典的桥梁[9j,qj]]=[pj,Pj]=0，这个式子说明不同模式间是独立的正则变换1(mjvjqj + ipj)miVih1(mjvjqj -ipj)e:/2mjvjha，a;分别为j模式产生和潼灭算符10
10 c) 给出对易关系（以下与谐振子量子化过程相同） l �-, �-" = �ℏ�-"，这里的 ℏ就是量子与经典的桥梁 �-, �-" = �-, �-" = 0，这个式子说明不同模式间是独立的 l 正则变换 �-�1+2!# = 1 2�-�-ℏ (�-�-�- + ��-) �- 3 �+2!# = 1 2�-�-ℏ (�-�-�- − ��-) �- 3 , �-分别为�模式产生和湮灭算符
Ex = Z,ejaje-ivjt sin(k;z) + H.c.那么电磁场可以表示为Hy = -ieocZjejaje-ivit cos(kjz) + H.c.其中ej=/hv;/(eoV)，元激发的振幅即：对应一个模式中只有单个光子能量时所对应的振幅再回代到哈密顿量中，替换掉pj，qj，得到一维情况下的HH = Z,hv;(afa; + 2)（Q2：既然模式的信息不在H里，微纳结构中电场量子化后的形式是什么？）其中vj为频率，有aj,a,|=8j'，[aj,aj]=aj,a|=0（模式间独立）如果Ex，H,能被aj，a表示出来，其它所有电磁场中的物理量都能被表示出来11
11 l 那么电磁场可以表示为Z �& = ∑- �-�-�1+2!# sin(�-�) + �. �. �0 = −��)� ∑- �-�-�1+2!# cos(�-�) + �. �. 其中�- = ℏ�-/(�)�)，元激发的振幅 即：对应一个模式中只有单个光子能量时所对应的振幅 l 再回代到哈密顿量中，替换掉�-，�-，得到一维情况下的ℋ ℋ = ∑- ℏ�-(�- 3 �- + 4 % ) (Q2: 既然模式的信息不在ℋ 里，微纳结构中电场量子化后的形式是什么？） 其中�-为频率，有 �-, �-" 3 = �-"， �-, �-" = �- 3 , �-" 3 = 0（模式 间独立） 如果�&，�0能被�-，�- 3表示出来，其它所有电磁场中的物理量 都能被表示出来