《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 §4、向量的乘法（非线性运算) 一、向量的数量积（点积、内积） 1、引例 (1)作功问题 有一方向、大小都不变的常力F作用于某一物体（如图），使之产生了一段位移，求力 F对此物体所作的功。 解：由物理学的知识，可得： ☐8 wF|cosa-51F-sl·cos8 且当0≤日<行时，F作正功：牙<日≤π时，户作负功：若日=，剩F不作功。 2 (2)流量问题 某流体流过面积为A的平面，其上各点处流速均为下（常向量），设市是垂直于平面的单 位向堂，计算单位时间内流过此平面的流体的质量即流量（其中流体的密度为ρ）。 解：单位时间内流过此平面的流体即斜 柱体内的流体，其质量为 V·p=小|川cos0p=e4|川lcos0 定义1、设有向量a,6,其夹角为0=(a,b),称数量|a川万|cos0为向量a与6的数量积， 记作：a6acos0,也称为a与6的点积，读作a点乘6。 由此定义，引例中的功可以表示为：w=F.5,流量为4(·)。 注：①如果6≠0，有Prjāacos0,若a≠0则有Pri,B -b1cos0,故 a.bbPrja a.baPrjb ②上有老可以得阴用表计保装影的公天酒：票话一治 〔>00≤0<号 ③由定义，a.b-00=号 0<0≤π 2、性质 第6页一共28页 安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 (1)a,aa2 21交换律：a6=6.ā 分配律：(a+b)c=ac+b.c 结合律：(2-b=a:(ab=(a.b) 3)设ā，6为非零向量，则ā.i=0一ā1万 (4)点积的坐标运算：设a={a,a,a,},万=，b,b,},则：ab=a,b,+a,b,+a,b 因为：a.b={a,i+a,j+a.bi+bj+b.k =abi-i+abi-j+abi-k+abj-i+abj-j+ab.j-k +abk.i+abk.j+abk.k=ab,+ab,+ab 3、点积的两个应用 (1)求两个向量的夹角日的余弦 a.B ab+ab,+ab eos01a6回+a+a&+6+时 (2)求投影 资波票浸 例1、在xoy平面上求一向量6，使得6⊥ā。其中a=5,-3,4}且ā曰b1。 解：设6=b,b,b},将条件带入，有 万在x0y平面上，万1或i.k=0: b=0 i1a,6.a=0: 5b,-3b,+4h.=0 16Ha1即1bPa2: b+b+b=50 解得：乌0么点么指所水的：5一篇+治网： 例2、设a,6,为单位向量，且满足a+万+c=0,求ab+b.c+c.a。 解：a(a+b+c)=0 a.a+a.b+a.c=0 a.b+a.c=-1 6.(a+6+c)=06a+6.6+6.c=06.a+6.c=-1 c.(a+b+)=0ca+c.b+c.c=0 c.a+c.b=-1 第7页一共28页 象来安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 将上面的三式相加： 2(a.6+6.c+c.a)=-3 a6+68+8a-月 二、向量的向量积（叉乘积，外积) 例1.力矩问题 设O为杠杆的支点，力F作用在杠杆上P点处（如图）， 0 根据力学知识，力下对于支点O的力矩为向量M,其方向 垂直于力F与向量O驴所确定的平而，且从OP到F按照右手规则确定，其模为 |MHoC-F1oPlF1sin0。 定义2、设有非零向量五，6，夹角为0(0≤0≤π)，定义一个新的向量R,使其满足 ①1Hal61sin0: ②R⊥ā，R⊥万，R的方向从ā到6按右手系确定。称R为石与的向量积，记作： R=a×b,读作a叉乘i。 注：(1)ā×b是一个既垂直于a,又垂直于万的向量； (2ā×b日-5-sin0的几何意义：以ā、万为边的平行四边形的面积。 2、性质 6 ①a×a=0 ②“交换律”：axb=-bxa 分配律：a×(⑥+c)=a×b+axc 结合律：(2)×6=a×(b)=(a×b) 例2、证明基本单位向量i、j、K满足：i×j=kj×k=iK×i=方 证：i×7 H7I-sini号=1，表明，ix了是单位向量： 由定义i×711,j,且从万到7满足右手系，故i×方的方向正是z轴的正方向，即i×j的 方向与k的方向一致：从而证得：×=k。 ③ax6的坐标计算 axb={ai+a,j+a,k×地，i+b,j+b,k -abixi+abixj+abixk +ab.jxi+ab,jxj+ab.jxk 第8页一共28页 象衣安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 +a,bk×i+ab,k×j+ab.k×k =(a,b.-a.b,)i+(a.b,-ab.)j+(a b,-+ab 小 如ā={礼，0,2，万={-11,0，则 6 -110 ④设a,6为非零向量，则：ax万=0台a/6一点.么.点 国ad=o.收-长-o.收收-o长g。 即：a,h-a6,=0,a4-aA=0,a4-a,A=0,整理得：么=2=点 aaa 例3、已知三角形的顶点为A(3,4,-2),B(2,0,3),C(-3,5,4),求三角形的面积。 解：AB={-1,4,5},AC={61,6 A =-29i-24j-25k={-29,-24,-25} 5=B×4d-2-29+(29+(-25-22042 例4、已知ā-{2，-1，}，方=1,2，-}，求一个单位向量，使之既垂直于ā又垂直于b。 解：解法1)根据向量积的定义，c=a×b满足既垂直于ā又垂直于b。 方利 元=a×i=2-11=-i+3j+5k=-l,35}=V1+9+25=35 12- 满足条件的单位向量为：=士 第9页一共28页 票来安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 解法2)设所求向量为：C={C,C,C},利用条件 c⊥a,即c.a=0: 2cg-C,+c=0 c⊥b,即c.b=0: c+2c,-C:=0 |c上1或1=1： c2+c2+c=0 1 解此方程组，可得c=于35,6=±5，c=±5即=土51B,5: 例5、求向量ā=4，-3,4)在向量6={2,2,1}方向上的投影。 :ma6a6.r-爵m晋号， 例6、设向量ā=3,5，-2，向量6=2,1,4，问2，μ满足什么关系，向量ā+b与z轴垂直。 解：c=1ā+46=23,5，-2}+{21,4}={31+24,5元+4，-22+4u 由于c⊥k,则ck=0,即-21+4μ=0，即元=24。 例7、设室间三个点为AL,-3,4,B(-2,1,-),C(-3,-1,),求∠ABC A 解：BA=3,-4,5},BC={-1,-2,2, BAFV9+16+25=V50,|BC上+4+4=3 B m0既高号 0=年 例8、已知某向量模为2，与x轴、y轴的夹角相等，与z轴的夹角是前者的两倍，求此向量。 解：设所求向量为a,则其方向角a,a,2a,则ad={cosa,cosB,cosy门={cosa,cosa,cos2a cos'a+cos'B+cos'y =cos'a+cos'a+cos2 2a=1,cos2a+cos2 2a=0,cos2a=0 cos2a=-l,即2u-号或2a=,从6a-年支u-号：又a叫a7-212a 所以-29号=5发-20a-=0a8 例9、设a+3617a-55,a-4617a-25,求向量a,5间的夹角0。 a.6 :o0且a+617a-56:G+67-场=0.71a+16-6-1515f=0 a-4617a-2b:(a-4b)-(7a-2b)=0,71a2-30a.6+8bP=0 第10页一共28页