注2:矩阵ΦΦ可逆的条件称为激励条件 Excitation condition 注3:最小二乘判据对所有的误差加权是相同的, 这对应于假设所有的测量结果有相同的精度 对误差不同的加权可以通过改变损失函数(22)为 V=E WE, w=diagw)>0 此时最小二乘估计为 0=W)ΦWY
θ ( W ) WY T T = −1 ˆ 注2：矩阵 可逆的条件称为激励条件 （excitation condition ）。 注3：最小二乘判据对所有的误差加权是相同的， 这对应于假设所有的测量结果有相同的精度。 T 对误差不同的加权可以通过改变损失函数（2.2）为 , { } 0 2 1 = = i T V E WE W diag w 此时最小二乘估计为
例21静态系统的最小二乘估计 (b)8 246 Input (d)8 2 2 Input Input Figure 2.1 The dots represent the measured data points Resulting models, indicated by the solid lines, based on the least - squares estimates are also given for(a) Model 1,(b) Model 2,(c) Model 3, (d) Model 4
例2.1 静态系统的最小二乘估计
最小二乘的几何解释( geometric interpretation) 62q Y e,9 Figure 2.2 Geometric interpretation of the least-squares estimate
最小二乘的几何解释（geometric interpretation）
e(1)|y(1)9() n(1) E(2)|y(2)91(2) 0n(2) e()」Ly()」L(t) E=Y-b1-p2…- n ()(Y-g-g22…-g"0n)=0,i=1,…t
n n n n θ φ t φ φ θ φ t φ φ y t y y ε t ε ε − − = ( ) (2) (1) ( ) (2) (1) ( ) (2) (1) ( ) (2) (1) 1 1 1 1 n n E = Y − φ θ − φ θ − φ θ 2 2 1 1 φ Y φ θ φ θ φ θ i t n ( i ) T ( − 1 1 − 2 2 − n ) = 0, =1,
最小二乘的统计解释( statistical interpretation) y()=g(i)+e(i)(212) Y=①+E (ΦΦ)ΦY=0=00+(ΦΦ)ΦE(2.13)
( ) ( ) ( ) 0 y i φ i θ e i T = + Y = θ + E 0 Y θ θ E T T T T = = + −1 0 −1 ( ) ˆ ( ) 最小二乘的统计解释（statistical interpretation） （2.12） （2.13）