Figure16:友谊定理 比“友谊定理”更为广泛而深刻的是下面的所谓“拉姆齐定理(Ramsey?2 Theorem)”: 对发一个给定的两个整数m,n,则一定存在一个最小整数r=r(m,n), 使得用两种颜色（红色或蓝色）无论给K,的每条边如何染色，总能找到一个 红色的Km或者蓝色的Kn 当m=n=3时，r(3,3)=6,即是“友谊定理”.目前仅知道r(3,9)= 36,r(4,4)=18,r(4,5)=25.但r(3,10),r(4,6),r(5,5)等均未知.现已知43≤ r(5,5)≤55. 爱多士说：“想像卡队外星人军队在地球降落，要求取得r(5,5)的 值，否则便会毁灭地球。在这个情况，我们应该集中所卡电脑和数学家尝 试去找这个数值.若它们要求的是r(6,6)的值，我们要尝试毁灭这班外星人 了。”（注：计算r(5,5)(现已知其介发43与55之间）大约需要10262TB存储空 间。) 2F.P.Ramsey,1903.2.22-1930.1.19,英国数学家、哲学家兼经济学家. 16
Figure 16: ❧➬➼♥ ✬✴❧➬➼♥✵➁➃✷➁✌✢➃✛➫❡→✛↕➣✴✳✵à➼♥(Ramsey2 Theorem)✵: é✉➌❻❽➼✛ü❻✒êm, n➜❑➌➼⑧✸➌❻⑩✂✒êr = r(m, n)➜ ➛✚❫ü➠ôÚ(ùÚ➼✼Ú)➹Ø❽Kr✛③❫❃❳Û✴Ú➜ ♦❯é✔➌❻ ùÚ✛Km➼ö✼Ú✛Kn✧ ✟m = n = 3➒➜r(3, 3) = 6➜❂➫✴❧➬➼♥✵. ✽❝❂⑧✗r(3, 9) = 36, r(4, 4) = 18, r(4, 5) = 25. ✂r(3, 10), r(4, 6), r(5, 5)✤þ➍⑧. ②➤⑧43 ≤ r(5, 5) ≤ 55. ❖õ➡❵➭ ✴➂➈❦è✠✭❁✁è✸✴➙üá➜❻➛✒✚r(5, 5)✛ ❾➜➘❑❇➡↕➠✴➙✧✸ù❻➐➵➜ ➲❶❆❚✽➙↕❦❃▼Úê➷❬⑥ ➪✖éù❻ê❾. ❡➜❶❻➛✛➫r(6, 6)✛❾➜➲❶❻⑥➪↕➠ù⑩✠✭❁ ✡✧✵ (✺➭❖➂r(5, 5)(②➤⑧Ù✵✉43❺55❷♠)➀✕■❻10262TB⑧❀➌ ♠✧) 2F.P.Ramsey, 1903.2.22-1930.1.19, ❂■ê➷❬✦ó➷❬♦➨▲➷❬. 16
11 p1 p2 Figure17:幸福结局问题 幸福结局问题(Happy Ending problem) 1933年，乔治·塞凯赖什3与保罗·爱多士参加一次数学聚会，美女 爱丝特·克莱恩4提出一个问题： 平面上任意五个点（其中任意三点不共线）中，存在四个点构成一 个凸四边形 塞凯赖什和爱多士等人没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣 布了她的证明：这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能 是五边形、四边形和三角形。前两种情况是显然的，而对于第三种情况， 把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶 点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。 3 George Szekeres,1911.5.29-2005.8.28,匈牙利澳大利亚数学家. 4 Esther K1ein,1910.2.20-2005.8.28,匈牙利澳大利亚数学家. 17
Figure 17: ✸✹✭Û➥❑ ✸✹✭Û➥❑(Happy Ending problem) 1933 ❝➜③↔★❧♣✻➓3❺✂Û★❖õ➡ë❭➌❣ê➷à➡➜ ④å ❖❥❆★➂✹☞4❏Ñ➌❻➥❑➭ ➨→þ❄➾✃❻✿↔Ù➙❄➾♥✿Ø✁❶↕➙➜⑧✸♦❻✿✟↕➌ ❻à♦❃✴. ❧♣✻➓Ú❖õ➡✤❁✈➂✔❚◆♦②➨✧✉➫➜④åÓ➷✚➾✴❭ Ù✡➝✛②➨➭ ù✃❻✿✛à➑↔❈❳✒❻✿✽✛⑩✂àõ❃✴↕➄➀❯ ➫✃❃✴✦♦❃✴Ú♥✍✴✧❝ü➠➐➵➫✇✱✛➜ ✌é✉✶♥➠➐➵➜ r♥✍✴❙✛ü❻✿ë↕➌❫❺❶➜❑♥✍✴✛♥❻➸✿➙➌➼❦ü❻➸ ✿✸ù❫❺❶✛Ó➌ý➜ ù♦❻✿❇✟↕✡➌❻à♦❃✴✧ 3George Szekeres➜1911.5.29õ2005.8.28➜✿ß⑤-❡➀⑤æê➷❬. 4Esther Klein➜1910.2.20-2005.8.28➜✿ß⑤-❡➀⑤æê➷❬. 17
Figure18:Szekeres夫妇于1993年获得 爱多士和塞凯赖什在1935年证明了一个更强的结论： 设正整数n≥3，总存在正整数m,使得平面上任意m个点（其中任 意三点不共线)中，一定存在n个点构成凸n边形. 爱多士将此问题命名为“幸福结局问题”(Happy Ending problem), 因为这个问题让乔治·塞凯赖什和美女同学爱丝特·克莱恩最终在1937年 6月13日结婚， 几十年过去了，幸福结局问题依旧活跃在数学界中（除较小几种情形外 问题中的最小下界仍未知)。 最后的结局真的很幸福。结婚后的近70年里，乔治和爱丝特从未分开 过。2005年8月28日，乔治和爱丝特相继离开人世，相差不到一个小时. 18
Figure 18: Szekeres➴❖✉1993❝➻✚ ❖õ➡Ú❧♣✻➓✸ 1935 ❝②➨✡➌❻➁r✛✭Ø➭ ✗✔✒ên ≥ 3➜♦⑧✸✔✒êm➜➛✚➨→þ❄➾ m ❻✿(Ù➙❄ ➾♥✿Ø✁❶)➙➜➌➼⑧✸ n ❻✿✟↕à n❃✴. ❖õ➡ò❞➥❑➲➯➃✴✸✹✭Û➥❑✵(Happy Ending problem)➜ Ï➃ù❻➥❑✹③↔★❧♣✻➓Ú④åÓ➷❖❥❆★➂✹☞⑩➟✸ 1937 ❝ 6 ✛ 13 ❋✭➫. ❆➏❝▲✖✡➜✸✹✭Û➥❑➑❰➵✗✸ê➷✳➙(Ø✖✂❆➠➐✴✠ ➥❑➙✛⑩✂❡✳❊➍⑧)✧ ⑩✛✭Ûý✛é✸✹✧✭➫✛❈ 70 ❝♣➜③↔Ú❖❥❆❧➍➞♠ ▲✧ 2005 ❝ 8 ✛ 28 ❋➜③↔Ú❖❥❆❷❯❧♠❁➢➜❷☛Ø✔➌❻✂➒. 18
Figure 19:Kissing problem 该领域中另一古老又生机勃勃的著名问题是 Kissing problem (-So fascinating!But don't get your hopes up. 此问题源自斯诺克或桌球游戏：一个彩球周围最多可以放多少个 红球（使得每个红球都与该彩球相切）？红球的数目称为亲吻数(kissing number),称为牛顿数，一般以Kn表示n-维欧氏空间Rn的亲吻数.此类问 题统称为亲吻（数）问题(kissing problem或kissing number problem). 最简单的情形：在直线上（即1-维的情形），亲吻数等于2，即K1=2 习题11.证明平面亲吻数K2=6,即与单位圆相切并且互不相交（可 以相切)的单位圆最多有6个. 19
Figure 19: Kissing problem ❚✰➁➙✱➌✔Pq✮➴➬➬✛❮➯➥❑➫ Kissing problem (-So fascinating! But don’t get your hopes up. ) ❞➥❑✌❣❞ì➂➼❙➙✐❩➭➌❻ç➙➧➀⑩õ➀➧➌õ✟❻ ù➙(➛✚③❻ù➙Ñ❺❚ç➙❷❷)? ù➙✛ê✽→➃❾➡ê(kissing number)➜→➃Úîê➜➌❸➧ Kn ▲➠n-➅î➻➌♠ R n ✛❾➡ê. ❞❛➥ ❑Ú→➃❾➡(ê)➥❑(kissing problem ➼kissing number problem). ⑩④ü✛➐✴➭✸❺❶þ(❂1-➅✛➐✴)➜❾➡ê✤✉ 2➜❂K1 = 2. ❙❑11. ②➨➨→❾➡ê K2 = 6➜❂❺ü➔☛❷❷➾❹♣Ø❷✂(➀ ➧❷❷)✛ü➔☛⑩õ❦ 6 ❻. 19
Figure 20:Kissing number problem K3=？即与单位球面相切并且互不相交的单位球最多有几个？ 牛顿认为K3=12.牛顿的想法是 设有n个单位球Kissing中心单位球，则任意两个切点之间的（欧几 里得)距从至少是1，故这两个切点分别连接中心球的球心的夹角至少 是60°，因斯只要在中心球的内接正十二面体的顶点上放置单位球即可得到 )需的12个球 牛顿认为，这12个球足够“挤”以至于不可能再容纳下第13个球了. (引申：耶稣不会有第十三个门徒！) 但斯时外面的12球当中至少有两个球可以连续地在中心球的表面移动 至互换位置.换句话说，外围的12个球之间有非常大的缝隙，以至于牛顿 的坚定追随者格里高利5都认为K3=13. 你支持牛顿还是格里高利？ 5 David Gregory,.1659.6.3-1708.10.10,苏格兰数学家与天文学家，12岁进入艾伯丁大 学，16岁离开（无学位），24岁起任爱丁堡大学数学教授，后任牛津大学天文学教授 20
Figure 20: Kissing number problem K3 =? ❂❺ü➔➙→❷❷➾❹♣Ø❷✂✛ü➔➙⑩õ❦❆❻➸ Úî❅➃ K3 = 12. Úî✛➂④➫➭ ✗❦n ❻ü➔➙Kissing➙✪ü➔➙➜❑❄➾ü❻❷✿❷♠✛(î❆ ♣✚)å❧➊✟➫1➜✙ùü❻❷✿➞❖ë✚ ➙✪➙✛➙✪✛❨✍➊✟ ➫ 60o➜Ï❞➄❻✸➙✪➙✛❙✚✔➏✓→◆✛➸✿þ➌➌ü➔➙❂➀✚✔ ↕■✛12 ❻➙. Úî❅➃➜ù12 ❻➙✈✡✴❅✵➧➊✉Ø➀❯✷◆❇❡✶ 13 ❻➙✡. (Ú✙➭❿❥Ø➡❦✶➏♥❻⑨ä!) ✂❞➒✠→✛12 ➙✟➙➊✟❦ü❻➙➀➧ë❨✴✸➙✪➙✛▲→↔➘ ➊♣❺➔➌. ❺é④❵➜✠➀✛ 12❻➙❷♠❦➎⑦➀✛➾❨➜➧➊✉Úî ✛❥➼❏➅ö❶♣♣⑤5 Ñ❅➃K3 = 13. ❭⑤➧Úî❸➫❶♣♣⑤➸ 5David Gregory, 1659.6.3õ1708.10.10, ⑨❶❂ê➷❬❺❯➞➷❬➜12➉❄❭▼❐➯➀ ➷➜16➉❧♠(➹➷➔)➜24➉å❄❖➯✄➀➷ê➷✓➬➜❄Ú✾➀➷❯➞➷✓➬. 20