注1在不定积分表达式中最后的常数不能漏掉,否 则意义将完全改变; 2定义在区间Ⅰ上的连续函数一定存在原函数,但其原 函数比一定能用初等函数来表示;例如函数 f(x)=c(x∈(-O,+∞) 为连续函数,但其原函数却不能用初等函数来表示; 3在区间/内存在原函数的函数不一定是连续函数 例如函数
注1 在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉，否 则意义将完全改变； 2 定义在区间 上的连续函数一定存在原函数，但其原 函数比一定能用初等函数来表示；例如函数 I ( ( )) 2 ( ) , x f x = e x ∈ −∞ +∞ 为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示； 3 在区间 内存在原函数的函数不一定是连续函数， 例如函数： I
2xsin--c0s-x≠0 f(x) x x=0 存在间断点x=0,但f(x)在(-∞,+∞)存在原函数 SIn x≠0 F(x)= x=0
( ) 1 1 2 sin - c o s 0 , 0 0 x x f x x x x ⎧ ⎪ ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ = 存在间断点 x = 0，但 f x( ) 在 (−∞,+∞ ) 存在原函数 ( ) 2 1 si n 0 . 0 0 x x F x x x ⎧ ⎪ ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ =
例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等 于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程 解设此曲线的方程为y=f(x)由题设得关系 dx 即,f(x)是2x的一个原函数,因|2xx=x2+C,且曲 线过(1,2),代入曲线方程得C=1,故所求曲线的方程为 J=x2+1
例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等 于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程． 解 设此曲线的方程为 y f = ( ) x ,由题设得关系 2 , dy x dx = 即， 是 的一个原函数，因 且曲 线过(1, 2), 代入曲线方程得 故所求曲线的方程为 f x( ) 2x 2 2 , xdx = x + C ∫ C =1, 2 y x = +1
对例3的说明:函数f(x)的原函数的图形称为f(x积分 曲线.当常数C取不同值时,曲线为平行曲线.因而 通过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线 1105
对例3的说明：函数 的原函数的图形称为 积分 曲线．当常数 取不同值时，曲线为平行曲线．因而 通过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线． f x( ) f x( ) C -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 1 2 3 4 5
3基本积分公式 (Jodx=C (≠-1) InIx+C +r2 arctan+C -arcsinx+C (6 cos xdx= sinx+c Sin xdx=-coSx+C (8)sec'xdx=tanx +C o(9)]csc'xdxr=-cotx+C. (10)]secx tan xdx=secx+C
3.基本积分公式 (1 0 ) dx C= . ∫ ( ) ( ) 1 2 d 1 . 1 x x x C µ µ µ µ + = + ≠ − + ∫ ( ) d 3 ln x x C x = + ∫ ( ) 2 d 4 arctan . 1 x x C x = + + ∫ ( ) 2 d 5 arcsin . 1 x x C x = + − ∫ (6 c ) os x xd = sin x + C. ∫ (7 s ) in x xd = − + cos x C. ∫ ( ) 2 8 sec x xd = tan x + C. ∫ ( ) 2 9 csc x xd = − + cot x C. ∫ (10) sec x x tan dx = sec x +C. ∫