如取8(的)÷0 则g'(O)=Q1-6) 1-日 6 是的渐近正态估计 1-X1-6 其渐近方差是 6 (1-6) 且g(X)也是g(0)的相合估计 定理2.1.1CAN估计一定是相合估计。 (证明见教材P5) 2-16
2 - 16 且 也 是 的相合估计。 其渐近方差是 是 的渐近正态估计， 如 取 ，则 （ ） ， g(X) ( ) , (1 ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 3 2 g n X X g g − − − = − − = − 定理 2.1.1 CAN估计一定是相合估计。 （证明见教材P54）
22无偏估计的方差下界 当样本容量n>1时,可估参数的无偏仳十 不唯一,设(O)为可估参数,可以找到个无 偏估计,其方差比任麒他无偏估计的方差都 致地小, 则这个估计就称为方差致最小无偏估计 简称为UMU估计 2-17
2 - 17 2.2 无偏估计的方差下界 简称为 估计。 则这个估计就称为方差一致最小无偏估计， 一致地小， 偏估计，其方差比任意其他无偏估计的方差都 不唯一，设 为可估参数，可以找到一个无 当样本容量 时，可估参数的无偏估计 UMVU g n ( ) 1
例5.设X1,…,Xn是来自U(0,0)的一个样本 由因子分解定理知Xm=Max(X1,…,Xn) 为充分统计量,其分樒密度函数为 p(t;()=mt"1/e",0<t<. 易验证该分布族是完备, 因而X也是b的完备统计量。 o nt 因E(Xm)= dt 6 n+1 n+1 故当X,是b的UMU估计. 2-18
2 - 18 ( ; ) 0 . ( , , ) 5. , , (0 , ) 1 1 1 = = − p t nt t X Max X X X X U n n nn n n ， 为充分统计量，其分布密度函数为 由因子分解定理知 例 设 是来自 的一个样本， . 1 1 ( ) 0 故 是 的 估 计 因 ， 因 而 也 是 的完备统计量。 易验证该分布族是完备的 ， X UMVU n n n n dt nt E X X nn n n nn nn + + = =
2.1.1一维参数无偏估计的方差界 设X1,…,Xn的分布族只依赖于一个一维参数 样本的频率函数为f(X1,…,Xn;0), g(O)是g(0)的任一无偏估计,g()存在 则va(g()2≥ [g()]2 E Inf(X1,…,Xn;0) 060 且称 g'(O]2 2为g(0)的方差下界 lfn(X1,…,Xn;b) 66 2-19
2 - 19 2.1.1 一维参数无偏估计的方差界 是 的任一无偏估计， 存 在 样本的频率函数为 ） 设 的分布族只依赖于一个一维参数 。 ) ( ) ( ) ˆ ( ( , , ; , , , 1 1 g g g f X X X X n n n 为 的方差下界。 ） 且 称 ) ˆ ( ln ( , , ; ( ) 2 1 2 g f X X E g n n 2 1 2 ln ( , , ; ( ) )) ˆ ( ( ） 则 n X Xn f E g Var g
若Vamr(g(O)= g()]2(参见教P5P57) 0f(p,X:)72 06 则称g()是g()的达到最小方差界的扁估计 sJn(r; o)de(n) af dx alog f, f,d=0 Js ae Js a8 alog, (x, 0) 0 06 g(x()fn(x(;6)lx()=g(0), S 2-20
2 - 20 2 1 2 ln ( , , ; ( ) )) ˆ ( ( = ） 若 n X Xn f E g Var g 则 称 g( ˆ )是 g( )的达到最小方差界的无偏估计 (参见教P55- P57) 0 , log ( ; ) ( ) = n f n X E ˆ( ) ( ; ) ( ) , ( ) ( ) ( ) = S n n n n g x f x dx g = = S S n n n n n f dx f dx f 0 ( ) log ( ) ( ; ) 1, ( ) ( ) = S n n fn x dx