例2.证明S2是ar(X)的无偏估计量。 证明:E∑(X1-X)=E∑x2-mx2 =川ar(X)+E(X)-川Var(X)+E2(X), ∑E(X2)-nE(x2) 而E(X)=E(X),Ⅷr(X)=r(X)/n, E2(x-x)1=(-1)r(x) E(S2)=hr(X),S2是r(X)的无偏估计量。 2-6
2 - 6 例2. 证明 是 Var(X ) 的无偏估计量。 2 S [ ( ) ] [ ] 1 2 2 1 2 = = − = − n i i n i 证明： E Xi X E X nX = = − n i E Xi nE X 1 2 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )], 2 2 = n Var X + E X − n Var X + E X \ E(S 2 ) =Var (X) , S 2 是Var (X)的无偏估计量。 而 E(X) = E(X) , Var (X) =Var (X) n , [ ( ) ] ( 1) ( ) 1 2 E X X n Var X n i i \ − = − =
又由E(B2) ar(X)知, 如果用B2作为vmr(X)的估计量, 要使其变为无偏估计,只需要用一“,乘以B2即可。 n 这种方法称为无偏化。 般地,若6是θ的估计量,且有E()=C, (C≠0为常数),要将其化为无偏估计时只需将θ乘 以就可化为无偏估计,即16为的无偏估计量 注:(1)无偏估计不一定总存在 Q2对可估参数无偏估计般不唯 3)无偏估计不一定是好估计 2-7
2 - 7 （） 无偏估计不一定是好 估 计 。 （） 对可估参数无偏估计一般不唯一。 注 无偏估计不一定总存在。 3 2 : (1) 这种方法称为无偏化。 要使其变为无偏估计，只需要用 乘 以 2 即可。 1 B n n − 如果用 作 为 的估计量， 又 由 知 ， ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 B Var X Var X n n E B − = ˆ 以 就可化为无偏估计，即 为 的无偏估计量。 为常数 ，要将其化为无偏估计 时只需将 乘 一般地，若 是 的估计量，且有 = ˆ C 1 C 1 ˆ (C 0 ) ˆ E( ) C
2.1.3均方误差准则 假设用估计b,评价该估计好坏的一个自然度量 是6-6,由于6是未知的,样本又具有随机性 直接使用这种自然度量在实际中是不可行的, 为排除样本随机性的景响向,可以对它求期望, 由于数学处理上的方考虑,最常用的标准 是由下式给出的均方谜差。 定义2.1,3设O为一个一维未知参数 6为的一个估计,6的均方误差定义为 MSE(,0)=E(6-0)2 2-8
2 - 8 2.1.3 均方误差准则 是由下式给出的均方误差 。 由于数学处理上的方便考虑，最常用的标准 为排除样本随机性的影响，可以对它求期望， 直接使用这种自然度量在实际中是不可行的， 是 由 于 是未知的，样本又具有随机性， 假设用 估 计 ，评价该估计好坏的一个自然度量 , ˆ ˆ − 定义2.1.3 2 ) ˆ , ) ( ˆ ( ˆ ˆ , MSE = E − 为 的一个估计， 的均方误差定义为 设 为一个一维未知参数
MSE(,的)=E(O-0)2 E[-E()+E()-0] E[a-E(e)+2E6-E(6)E(e)-6+E(0)-6 2E[6-E()[e(e)-e] =2E()-E()E()-6」=0 MSE(0,0)=vam(O)+[E(0)-0 MSE(,0)是由两个量迭加而成一个是估计量的方差 另一个是估计的偏差的平方如果是的无偏估计, 则后一项为0则有MSE(6,0)=Var(6 2-9
2 - 9 2 2 ) ˆ ) ( ˆ ( ˆ ) ˆ , ) ( ˆ ( = − + − = − E E E MSE E ) ˆ , ) ( ˆ . ( ˆ . , ) , ˆ ( MSE Var MSE 则后一项为 则 有 = 另一个是估计的偏差的平 方 如 果 是 的无偏估计， 是由两个量迭加而成一个是估计量的方差， 0 2 2 ) ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ( ˆ ) 2 ˆ ( ˆ = E − E + E − E E − + E − 2 ) ˆ ) ( ˆ ( 2E ˆ − E E − = + ) − ˆ ) ( ˆ , ) ( ˆ MSE( Var E ) 0 ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ = 2 E( − E E − =
2.1.4相合估计及相合渐近正态估计 估计量是与样本容量荐的假设用 n=0n(X1,…,Xn)估计,就不可能做到对 某一n,MSE(对所有∈任意小 但当n→时通常可以做到这一点 这就是相合性概念 定义2.1.4估计量e称为待估参数O的相合估计, 若对给定样本分布族中的任一分布 当n→>时,依概率收敛到 2-10
2 - 10 2.1.4 相合估计及相合渐近正态估计 . , ) , ˆ , ( ( , , ) , ˆ ˆ , 1 这就是相合性概念 但 当 时通常可以做到这一点 某 一 对所有 任意小 估 计 就不可能做到对 估计量是与样本容量有关 的 假设用 → = n n MSE X X n n n n 定义 2.1.4 . ˆ ˆ 当 时 ， 依概率收敛到 若对给定样本分布族中的任一分布 ， 估计量 称为待估参数 的相合估计， n n n →