更多考研资料分享+qq810958634当0≤x≤1时, f(x)=x,所以F(x)=Jf()d=J。dt=[=x当1<x≤2时，f(x)=2-x，所以F(x)= J, f(0)dt="Pdt+F'(2-1)dt[]+[2r-]-+(2x-→r)-(2-.71+2x62x,0≤x≤13，应选(B).所以F(x)+2x-x271<x≤262(3）【答案】(B)【解析】方法一：用排除法由于不可导点也可取极值，如f(x)=-x-1，在x=1处取极大值，但是x=1不是f(x)=-x-1的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性，即极值不是最值，所以（D）也不正确：对于f(x)=-|x-1],在x。=1处取极大值,但-x=-1并非是-f(x)=x-1|的极小值点，所以(C)也不成立：故选(B)方法二：证明(B)是正确的，因为x。0，不妨设x。>0,则f(x。）为极大值，则在x。的某个领域内有f(xo)>f(x±△x);函数y=-f(-x)与函数y=f(x)关于原点对称,所以必有-f(-xo)<-f(-x±Ax)，即在-x的某个领域内一f(-x)为极小值，故(B)是正确的(4）【答案】(D)【解析】函数的定义域为x±0，所以函数的间断点为x=0，1+e~rer +1limy=lim= lim=00，所以x=0为铅直渐近线X-01-e~rx=0 er -1T1+e-r2er +1=1,所以y=1为水平渐近线limy=lim:limr→01-e-x-→er-1所以选(D)。更多考研资料分享+qq810958634
当0 1 ≤ ≤x 时, 2 fx x ( ) = ,所以 2 33 0 0 0 1 1 ( ) () 3 3 x x x F x f t dt t dt t x = = = = ∫ ∫ . 当1 2 < ≤x 时, fx x () 2 = − , 所以 1 2 0 01 ( ) ( ) (2 ) x x F x f t dt t dt t dt = = +− ∫ ∫∫ 1 32 2 0 1 1 11 1 1 2 (2 ) (2 ) 3 23 2 2 x t tt xx = + − =+ − − − 7 1 2 2 6 2 =− + −x x . 所以 3 2 ,0 1 3 ( ) 7 2 ,1 2 6 2 x x F x x x x ≤ ≤ = −+ − <≤ ,应选(B). (3)【答案】(B) 【解析】方法一：用排除法. 由于不可导点也可取极值,如 fx x () 1 =− − ,在 0 x =1处取极大值,但是 0 x =1不是 fx x () 1 =− − 的驻点,所以(A)不正确； 注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确； 对于 fx x ( ) | 1| =− − ,在 0 x =1处取极大值,但 0 − =− x 1并非是 − =− fx x ( ) | 1| 的极小 值点,所以(C)也不成立；故选(B). 方法二：证明(B)是正确的,因为 0 x ≠ 0 ,不妨设 0 x > 0 ,则 0 f x( ) 为极大值,则在 0 x 的某个领 域内有 0 0 fx fx x () ( ) > ±∆ ； 函数 y fx =− −( ) 与函数 y fx = ( ) 关于原点对称,所以必有 0 0 − − <− − ±∆ fx fx x () ( ) ,即 在 0 −x 的某个领域内 0 − − f x ( ) 为极小值,故(B)是正确的. (4)【答案】(D) 【解析】函数的定义域为 x ≠ 0 ,所以函数的间断点为 x = 0 , 2 2 2 2 00 0 1 1 lim lim lim 1 1 x x xx x x x e e y e e − →→ → − + + = = = ∞ − − ,所以 x = 0 为铅直渐近线, 2 2 2 2 1 1 lim lim lim 1 1 1 x x xx x x x e e y e e − →∞ →∞ − →∞ + + = == = − − ,所以 y =1为水平渐近线. 所以选(D). 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634【相关知识点】铅直渐近线：如函数y=f(x)在其间断点x=x处有limf(x)=o0，则x=x是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当limf(x)=a,a为常数），则y=α为函数的水平渐近线(5）【答案】(A)【解析】如图建立坐标系，则x→x+dx中，dx长度的细杆的质量为udx，与质点的距离kmμdxkmμ为a-x，故两点间的引力为dF=，积分得Fdx，故选(A)(a-x)(a-x),0)，故同理应用微元法可知，若以1的中点为原点，则质点的坐标为（α+2kmjdx :Fx)(a-2kmμ若以1的左端点为原点，则质点的坐标为（α+1,0)，故F=xa+l-x)故(B)、(C)、(D)均不正确，应选(A)。三、（每小题5分，满分25分.）（1）【解析】这是个函数的参数方程，dy._ dy/ dtsint+tcostdxdx/ dtcost-tsint1d'yddy1dsint+tcostdxdx?dt dxdtcost-tsintcost-tsintdt1(2cost-tsint)(cost-tsint)+(2sint+tcost)(sint+tcost)(cost-tsint)cost-tsint2(cost+sin*t)+(sin*t+cos?t)-3tsintcost+3tsintcost(cost-tsint)2+t2(cost-tsint)3【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：[x=Φ(t)dy_ g'(@)则如果dx"(n)(y=p(t)更多考研资料分享+qq810958634
【相关知识点】铅直渐近线：如函数 y fx = ( ) 在其间断点 0 x x = 处有 0 lim ( ) x x f x → = ∞ ,则 0 x x = 是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当lim ( ) ,( x fx aa →∞ = 为常数）,则 y a = 为函数的水平渐近线. (5)【答案】(A) 【解析】如图建立坐标系,则 x x dx → + 中, dx 长度的细杆的质量为 µdx ,与质点的距离 为 a x − ,故两点间的引力为 2 ( ) km dx dF a x µ = − ,积分得 0 2 ( ) l km F dx a x µ − = − ∫ ,故选(A). 同理应用微元法可知,若以l 的中点为原点,则质点的坐标为( ,0) 2 l a + ,故 2 2 2 ( ) 2 l l km F dx l a x µ − = + − ∫ ； 若以l 的左端点为原点,则质点的坐标为( ,0) a l + ,故 2 0 ( ) l km F dx alx µ = + − ∫ . 故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A). 三、(每小题 5 分,满分 25 分.) (1)【解析】这是个函数的参数方程, / sin cos / cos sin dy dy dt t t t dx dx dt t t t + = = − , 2 2 1 sin cos 1 () ( ) cos sin cos sin d y d dy d t t t dx dt dx dt t t t t t t dx dt + = ⋅= ⋅ − − 2 (2cos sin )(cos sin ) (2sin cos )(sin cos ) 1 (cos sin ) cos sin tt t tt t tt t tt t tt t t t t − −+ + + = ⋅ − − 2 2 22 2 3 2(cos sin ) (sin cos ) 3 sin cos 3 sin cos (cos sin ) t tt t t t t tt t t tt t ++ + − + = − 2 3 2 (cos sin ) t tt t + = − . 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法： 如果 ( ) ( ) x t y t φ ϕ = = ,则 ( ) ( ) dy t dx t ϕ φ ′ = ′ . 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634（2）【解析】用换元法求定积分令t=x，则x=tdx=2tdt，则dx2tdt=0x(1+/x)J2(1+)1+1[=2(ng-1n)=21n:323（3）【解析】利用等价无穷小和洛必达法则当x→0时，有sinxxe1+x，所以2sin2AA21-cosx12-x-sinxx-sinxlimlim洛lim= lim= limx3x23x23x26x-→0 x(er-1)X-→0X->0x→0x→0（4）【解析】用分部积分法求不定积分1-cos2xx sin"xdxxcos2x)d1.xcos2xdx=xd(sin2xxdx111xsin2x+sin2xdx4.4411xsin2x--cos2x+C.448（5）【解析】所给方程是一阶线性方程，其标准形式为+y=er.通解为-deredx+C)=-[xe'dx+C)y=e( xde*+C)={(xe*-Je'dx+C)=-(xe*-e"+C)1 x-1代入初始条件y(1)=1得C=1,所以特解为y=esxx【相关知识点】一一阶线性非齐次微分方程y+p(x)y=q(x)的通解为y=e-Jp(r)dt(Jq(x)eJe()dx+C),其中C为常数四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式，从中发现规律当x>1时，原不等式即(1+x)ln(1+x)>xlnx，即(1+x)ln(1+x)-xlnx>0.更多考研资料分享+qq810958634
(2)【解析】用换元法求定积分. 令t x = ,则 2 x t dx tdt = = , 2 ,则 42 2 2 11 1 1 11 2 2( ) (1 ) (1 ) 1 dx tdt dt x x tt t t = ⋅= − + + + ∫∫ ∫ 2 1 21 4 2 ln 2(ln ln ) 2ln 1 32 3 t t = = −= + . (3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则. 当 x → 0 时,有sin , 1 x x xe x + ,所以 2 2 2 3 2 22 0 0 0 00 2sin 2 sin sin 1 cos 2 1 2 lim lim lim lim lim ( 1) 3 3 3 6 x x x x xx x x xx xx x → → → →→ xe x x x x − −− = = = = − 洛 . (4)【解析】用分部积分法求不定积分. 2 1 cos 2 1 sin ( cos 2 ) 2 2 x x xdx x dx x x x dx − =⋅ = − ∫∫ ∫ 1 1 11 2 cos 2 (sin 2 ) 2 2 44 = − =− xdx x xdx x xd x ∫∫ ∫ 11 1 2 sin 2 sin 2 44 4 =− + x x x xdx ∫ 11 1 2 sin 2 cos 2 44 8 =− − + x x x xC . (5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为 1 x y ye x ′ + = .通解为 1 1 1 ( )( ) dx dx x x x x y e e e dx C xe dx C x −∫ ∫ = += + ∫ ∫ 11 1 ( )( )( ) x x x x x xde C xe e dx C xe e C xx x = + = − + = −+ ∫ ∫ . 代入初始条件 y(1) 1 = 得C =1,所以特解为 1 1 x x y e x x − = + . 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程 y pxy qx ′ + = () () 的通解为 ( ) ( ) ( () ) p x dx p x dx y e q x e dx C −∫ ∫ = + ∫ ,其中C 为常数. 四、(本题满分 9 分) 【解析】首先应简化不等式,从中发现规律. 当 x >1时,原不等式即(1 )ln(1 ) ln + +> x x xx ,即(1 )ln(1 ) ln 0 + +− > x x xx . 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634证法一：令f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，则只需证明在x>1时f(x)>0即可可利用函数的单调性证明，对于f(x)有I(x)= In(I+x)+1-Inx-1= In(+)x因x>1,故>1,即[(t)>0,所以在(I,+0)上(t)是严格递增函数,所以xf(x)>f(1)=2ln2>0,In(1+x)>×成立.故(1+x)In(1+x)-xlnx>0，所以当x>1时，有不等式Inx1+x证法二：当x>1时，原不等式即（1+x)ln(1+x)>xlnx，不等式左右两端形式一致，故令f(x)=xlnx，则f(x)=lnx+1>0(x>l),所以f(x)=xlnx在x>1时严格单调递增，故f(x+1)>f(x)，即(1+x)ln(1+x)>xlnx.In(1+)>×成立.所以当x>1时，有不等式In x1+x五、（本题满分9分）【解析】微分方程y"+y=x+cosx对应的齐次方程y"+y=0的特征方程为r2+1=0，特征根为ri,=土i，故对应齐次通解为C,cosx+C,sinx.方程y"+y=x必有特解为Y=ax+b，代入方程可得a=1,b=0.方程y"+y=cosx的右端ecosβx=cosx，α+Bi=i为特征根，必有特解Y,=x·Acosx+x·Bsinx，代入方程可得A=O,B=2x由叠加原理，原方程必有特解Y=Y,+Y,=x+sinx21所以原方程的通解为y=C,cosx+C,sinx+x+xsinx2【相关知识点】关于微分方程特解的求法：如果f(x)=P(x)e,则二阶常系数非齐次线性微分方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)具有形如y=x*Qm(x)e的特解，其中Qm(x)与P.(x)同次(m次)的多项式，而k按入不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2如果f(x)=e[P(x)cosのx+P,(x)sinのx],则二阶常系数非齐次线性微分方程更多考研资料分享+qq810958634
证法一：令 fx x x x x ( ) (1 )ln(1 ) ln =+ + − ,则只需证明在 x >1时 f x() 0 > 即可, 可利用函数的单调性证明,对于 f x( ) 有 1 ( ) ln(1 ) 1 ln 1 ln( ) x fx x x x + ′ = + +− −= . 因 x >1,故 1 1 x x + > ,即 f x ′() 0 > ,所以在(1, ) +∞ 上 f x( ) 是严格递增函数,所以 fx f ( ) (1) 2ln 2 0 >= > , 故(1 )ln(1 ) ln 0 + +− > x x xx ,所以当 x >1时,有不等式 ln(1 ) ln 1 x x x x + > + 成立. 证法二：当 x >1时,原不等式即(1 )ln(1 ) ln + +> x x xx ,不等式左右两端形式一致,故令 fx x x ( ) ln = ,则 fx x x ′( ) ln 1 0( 1) = +> > ,所以 fx x x ( ) ln = 在 x >1 时严格单调递增, 故 fx fx ( 1) ( ) + > ，即(1 )ln(1 ) ln + +> x x xx . 所以当 x >1时,有不等式 ln(1 ) ln 1 x x x x + > + 成立. 五、(本题满分 9 分) 【解析】微分方程 y yx x ′′ +=+ cos 对应的齐次方程 y y ′′ + = 0的特征方程为 2 r + =1 0 , 特征根为 1,2 r i = ± ,故对应齐次通解为 1 2 C xC x cos sin + . 方程 y yx ′′ + = 必有特解为Y ax b 1 = + ,代入方程可得a b = = 1, 0 . 方程 yy x ′′ + = cos 的右端 cos cos x e xx α β = ,α β + =i i 为特征根,必有特解 2 Y xA x xB x =⋅ +⋅ cos sin ,代入方程可得 1 0, 2 A B = = . 由叠加原理,原方程必有特解 1 2 sin 2 x YYY x x = + =+ . 所以原方程的通解为 1 2 1 cos sin sin 2 y C xC xx x x = + ++ . 【相关知识点】关于微分方程特解的求法: 如果 () () x m f x P xeλ = ,则二阶常系数非齐次线性微分方程 y pxy qxy f x ′′ ′ + += () () () 具有形如 * ( ) k x m y xQ xeλ = 的特解,其中 ( ) Q x m 与 ( ) P x m 同次( m 次)的多项式,而k 按λ 不 是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0 、1或 2 . 如果 ( ) [ ( )cos ( )sin ] x l n fx e Px x Px x λ = ω ω + ,则二阶常系数非齐次线性微分方程 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的特解可设为y = x*e"[R((x)cosox+ R(2)(x)sin ox],其中R(x)与R(2(x)是m次多项式，m=max1,n)，而k按+io(或-io）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积，用微元法，曲线为一抛物线，与x轴的交点是x=1,31x2=2,顶点坐标为(2’4方法一：考虑对x积分，如图中阴影部分绕y轴旋转一周，x+dx.Xr环柱体的体积为1dV =元(x+dx)[以-元x [以|=2元x[以|dx+元[以dx2其中dx?为dx→0的高阶无穷小，故可省略，且y为负的，故=-y,即dV=-2元xydx=-2元x(x-1)(x-2)dx.把x从1→2积分得V = ["2元x(1-x)(x-2)dx = 2元['(3x2 -x3 -2x)d)=2元[x-1x--]）=元=2元(0+元4-24方法二：考虑对y的积分，如图中阴影部分绕轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y轴旋转一周后的体积差，即dV=元x,dy-元x?dyty其中，x,为Y=与抛物线的交点,且x>x，y+dy把Y=y代入抛物线方程y=(x-1)(x-2)，解得-1/43+/1+4y3-/1+4yxi22故旋转体体积为V=1元(x-x)dy.把x,的值代入化简，得3元3元2元3元/1+4ydy--(1+4y)2432更多考研资料分享+qq810958634
y pxy qxy f x ′′ ′ + += () () () 的特解可设为 * (1) (2) [ ( )cos ( )sin ] k x m m y xe R x x R x x λ = ω ω + , 其中 (1) ( ) R x m 与 (2) ( ) R x m 是m 次多项式, m ln = max , { } ,而k 按λ ω + i (或λ ω − i )不是特征 方程的根、或是特征方程的单根依次取为0 或1. 六、(本题满分 9 分) 【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与 x 轴的交点是 1 x =1, 2 x = 2 ,顶点坐标为 3 1 (, ) 2 4 − . 方法一：考虑对 x 积分,如图中阴影部分绕 y 轴旋转一周, 环柱体的体积为 2 2 2 dV x dx y x y x y dx y dx =+ − = + π πππ () 2 其中 2 dx 为 dx → 0 的高阶无穷小,故可省略,且 y 为负的, 故 y y = − ,即dV xydx x x x dx =− =− − − 2 2 ( 1)( 2) π π . 把 x 从1 2 → 积分得 2 2 2 3 1 1 V x x x dx x x x dx = − − = −− 2 (1 )( 2) 2 (3 2 ) π π ∫ ∫ 2 3 42 1 1 1 2 2 (0 ) 4 4 2 x xx π π π = − − = += . 方法二：考虑对 y 的积分,如图中阴影部分绕 y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕 y 轴旋转一周后的体积差,即 2 2 2 1 dV x dy x dy = − π π 其中, 1 2 x x, 为Y y = 与抛物线的交点,且 2 1 x x > , 把Y y = 代入抛物线方程 yx x =− − ( 1)( 2) ,解得 1 2 3 14 3 14 , 2 2 y y x x −+ ++ = = , 故旋转体体积为 0 2 2 1 2 1 4 V x x dy π ( ) − = − ∫ .把 1 2 x x, 的值代入化简,得 0 3 0 2 1 1 4 4 3 2 32 3 1 4 (1 4 ) 4 3 4 3 2 V ydy y π π π π − − = + = ⋅ + = ⋅= ∫ . 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634