更多考研资料分享+qq810958634七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解设B、C的横坐标分别为x,x，因为|ABk1,所以x<0,x>0.依题设AB:DC=2:1,所以有e=2e-2x，两边同时取自然对数，得x=ln2-2x,而BC= x-x =x-(ln2-2x)=3x-ln2,(x>0),所以梯形ABCD的面积为3(2e-2x +e-22x)(3x-ln2)=S(et)(3x-ln2)=(3x-ln2)e-222求函数S=(3x-ln2)e-2x，（x>0）的最值，满足一般函数求最值的规律，两边对x求导2并令S=0有3S'm3-6x+2ln2)e-2x=0,-(321111ln2，在此点S'由正变负，所以x=二ln2是极大值点得驻点x=232313(3x-ln2)e-2*最大值点In2>0是S=又驻点唯一，故x22311此时x：=ln2，x=-ln2-1时，梯形ABCD面积最大23311ln2,0)故B点的坐标为(_ln2-1,0)，C点的坐标为(+233八、（本题满分9分）【解析】这是个抽象函数求定积分，由题知f(x+元)= f(x)+sin(x+元)=x-sinx,xe[0,元)f(x+2元)=f(x+元)+sin(x+2元)=x-sinx+sinx=x,xe[0,元),[" f(x)dx = f" f(x)dx+ [ f(x)dx,而对于[" f(x)dx,令t=x-元，则x=1+元,dx=dt,所以2" f(x)dx=J, f(t+)dt= '(t-sint)dt ;对于[f(x)dx，令t=x-2元，则x=1+2元,dx=dt，所以[" f(x)dx= 。 f(1+2元)dt= 。 tdt ;[ f(x)dx = f" f(x)dx+ [, f(x)dx所以更多考研资料分享+qq810958634
七、(本题满分 9 分) 【解析】可以利用函数的极值求解. 设 B 、C 的横坐标分别为 1 x x, ,因为| |1 AB < ,所以 1 x < 0, x > 0 .依题设 AB DC : 2:1 = ,所以有 1 2 2 x x e e− = ,两边同时取自然对数,得 1 x x = − ln 2 2 , 而 1 BC x x x x x x =− =− − = − > (ln 2 2 ) 3 ln 2,( 0) , 所以梯形 ABCD 的面积为 1 1 1 2 2 2 ( )(3 ln 2) (2 )(3 ln 2) 2 2 x x x x S ee x e e x − − − = + −= + − 3 2 (3 ln 2) 2 x x e− = − . 求函数 3 2 (3 ln 2) 2 x Sxe− = − ,( x > 0 )的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对 x 求导, 并令 S′ = 0有 3 2 (3 6 2ln 2) 0 2 x S xe− ′ = −+ = , 得驻点 1 1 ln 2 2 3 x = + ,在此点 S′ 由正变负,所以 1 1 ln 2 2 3 x = + 是极大值点. 又驻点唯一,故 1 1 ln 2 0 2 3 x =+ > 是 3 2 (3 ln 2) 2 x Sxe− = − 最大值点. 此时 1 1 ln 2 2 3 x = + , 1 1 ln 2 1 3 x = − 时,梯形 ABCD 面积最大, 故 B 点的坐标为 1 ( ln 2 1,0) 3 − ,C 点的坐标为 1 1 ( ln 2,0) 2 3 + . 八、(本题满分 9 分) 【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知 f x f x x x xx ( ) ( ) sin( ) sin , [0, ) + = + + =− ∈ ππ π , f x f x x x x x xx ( 2 ) ( ) sin( 2 ) sin sin , [0, ) + = + + + =− + = ∈ ππ π π , 而 3 23 2 f x dx f x dx f x dx () () () π ππ ππ π = + ∫∫∫ , 对于 2 f x dx ( ) π ∫π ,令t x = −π ,则 x t dx dt =+ = π , ,所以 2 0 0 f x dx f t dt t t dt ( ) ( ) ( sin ) ππ π π = + =− π ∫∫ ∫ ; 对于 3 2 f x dx ( ) π ∫ π ,令t x = − 2π ,则 x t dx dt =+ = 2 , π ,所以 3 20 0 f x dx f t dt tdt () ( 2) ππ π π =+= π ∫∫ ∫ ; 所以 3 23 2 f x dx f x dx f x dx () () () π ππ ππ π = + ∫∫∫ 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634=J (t-sin)di+J, idt=J, 2idt-I sin dt=[] +[cos ] = 元2 -2.更多考研资料分享+qq810958634
0 0 ( sin ) t t dt tdt π π =− + ∫ ∫ 0 0 2 sin tdt tdt π π = − ∫ ∫ [ ] 2 2 0 0 t t cos 2 π π = + =− π . 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq8109586341992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.）[*=10)-;其中于可导,且F(0)0,则会(1)设(y= f(e3t -1),dx-(2）函数y=x+2cosx在[0,]上的最大值为1- Vi-x2(3) lim0e-cosxdx(4)x(x2 +1)（5）由曲线y=xe与直线y=ex所围成的图形的面积S=二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1）当x→0时，x-sinx是x的(（A）低阶无穷小(B）高阶无穷小(C）等价无穷小(D）同阶但非等价的无穷小x, x≤0则()(2)设f(x)=x+x,x>0-x, x≤0-(x2 +x),x<0(A) f(-x)=(B) f(-x):-(x2+x),x>0-x2, x≥0x2,x≤ox2-x,x<0(C) f(-x)=(D) f(-x):x2-x,x>0x. x≥0x2-1 1()（3）当x→1时，函数r-1的极限x-1(A）等于2(B)等于0(C）为80(D）不存在但不为0(4)设f(x)连续,F(x)=f(t")dt，则F(x)等于()(A) f(r*)(B) xf(x))(c) 2xf(x*)(D) 2xf(x2)更多考研资料分享+qq810958634
1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 设 3 () , ( 1), t x ft y fe = −π = − 其中 f 可导,且 f ′(0) 0 ≠ ,则 t 0 dy dx = =＿＿＿＿＿＿. (2) 函数 yx x = + 2cos 在[0, ] 2 π 上的最大值为＿＿＿＿＿＿. (3) 2 0 1 1 lim cos x x x → e x − − = − ＿＿＿＿＿＿. (4) 2 1 ( 1) dx x x +∞ = + ∫ ＿＿＿＿＿＿. (5) 由曲线 x y xe = 与直线 y ex = 所围成的图形的面积 S =＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当 x → 0 时, x x − sin 是 2 x 的 ( ) (A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但非等价的无穷小 (2) 设 2 2 , 0 ( ) , 0 x x f x x xx ≤ = + > ,则 ( ) (A) 2 2 , 0 ( ) ( ), 0 x x f x x xx − ≤ − = −+ > (B) 2 2 ( ), 0 ( ) , 0 x xx f x x x −+ < − = − ≥ (C) 2 2 , 0 ( ) , 0 x x f x x xx ≤ − = − > (D) 2 2 , 0 ( ) , 0 x xx f x x x − < − = ≥ (3) 当 x →1时,函数 2 1 1 1 1 x x e x − − − 的极限 ( ) (A) 等于 2 (B) 等于 0 (C) 为∞ (D) 不存在但不为∞ (4) 设 f x( ) 连续, 2 2 0 () ( ) x F x f t dt = ∫ ,则 F x ′( ) 等于 ( ) (A) 4 f x( ) (B) 2 4 xfx( ) (C) 4 2() xf x (D) 2 2() xf x 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634((5）若f(x）的导函数是sinx，则f(x）有一个原函数为)(A) 1+sinx(B) 1-sinx(C) 1+cosx(D) 1-cOs x三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分.）3+x号(1)求lim(6+3d’y的值.(2）设函数y=y(x)由方程y-xe=1所确定,求dx?x=0x3dx(3)求1+X(4) 求[J1-sinxdx(5）求微分方程（y-x)dx-2xdy=0的通解四、(本题满分9分)[1+x2,x<0求f(x-2)dx设f(x)=l er,x≥0五、(本题满分9分)求微分方程y"-3y+2v=xe"的通解六、(本题满分9分)计算曲线y=ln(1-x）上相应于0≤x≤一的一段弧的长度，2七、(本题满分9分）求曲线y=x的一条切线1，使该曲线与切线1及直线x=0,x=2所围成的平面图形面积最小，八、(本题满分9分)已知f"(x)<0,f(0)=0，试证：对任意的二正数x和x，恒有f(x +x2)<f(x)+f(x2)成立。更多考研资料分享+qq810958634
(5) 若 f x( ) 的导函数是sin x ,则 f x( ) 有一个原函数为 ( ) (A) 1 sin + x (B) 1 sin − x (C) 1 cos + x (D) 1 cos − x 三、(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.) (1) 求 1 2 3 lim( ) 6 x x x x − →∞ + + . (2) 设函数 y yx = ( )由方程 1 y y xe − = 所确定,求 2 2 x 0 d y dx = 的值. (3) 求 3 2 1 x dx + x ∫ . (4) 求 0 1 sin xdx π − ∫ . (5) 求微分方程 3 ( )2 0 y x dx xdy − −= 的通解. 四、(本题满分 9 分) 设 2 1 ,0 ( ) , 0 x x x f x e x − + < = ≥ ,求 3 1 f x dx ( 2) − ∫ . 五、(本题满分 9 分) 求微分方程 3 2 x y y y xe ′′ ′ −+= 的通解. 六、(本题满分 9 分) 计算曲线 2 y x = − ln(1 ) 上相应于 1 0 2 ≤ ≤x 的一段弧的长度. 七、(本题满分 9 分) 求曲线 y x = 的一条切线l ,使该曲线与切线l 及直线 x x = = 0, 2 所围成的平面图形 面积最小. 八、(本题满分 9 分) 已知 fx f ′′( ) 0, (0) 0 < = ,试证：对任意的二正数 1 x 和 2 x ,恒有 12 1 2 fx x fx fx ( ) () () +< + 成立. 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq8109586341992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）(1）【答案】3dy_dy/ dt_3e3"f'(e3r-1)于是【解析】由复合函数求导法则可得=3dxdx / dtf(t)dxl=o【相关知识点】复合函数求导法则：如果u=g(x)在点x可导，而y=f(x)在点u=g(x)可导，则复合函数y=[g(x)在点x可导,且其导数为dydy_dy du= f'(u)·g(x)或dxdxdu dx(2)【答案】V+6A")内驻点x=【解析】令y=1-2sinx=0，得[062因为只有一个驻点，所以此驻点必为极大值点，与端点值进行比较，求出最大值.元(0)=2, ()=V+元元又，=2266V3+元可见最大值为16h(3【答案】0(-x2)=【解析】由等价无穷小，有x→0时，1-V1-x口-x,故221-x2)1-/1-x22lim= lim-0er-cosx-1→0e-cosx0,上式为“”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，由洛必达法则，有0x原式=lim=0.x-0 e+sinxIln 2(4）【答案】2【解析】令b→+c0，cb x2 +1- x?dx*6x原式=lim)dx（分项法）limdx = lim b-+ J1 x(x2 +1)x(x2 +1)x2 +1hb-→+ooJ1XCdx?=limInx- lim -(微分法)1 x2+1+002J1+b= lim In xl - lim =1n(x2 +1)ln2= lim Inb-→+o 2b-→+oVb2+12更多考研资料分享+qq810958634
1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】3 【解析】由复合函数求导法则可得 3 3 / 3 ( 1) / () t t dy dy dt e f e dx dx dt f t ′ − = = ′ ,于是 0 3 t dy dx = = . 【相关知识点】复合函数求导法则:如果u gx = ( ) 在点 x 可导,而 y fx = ( ) 在点u gx = ( ) 可 导,则复合函数 y f gx = [ ] ( ) 在点 x 可导,且其导数为 () () dy fu gx dx = ⋅ ′ ′ 或 dy dy du dx du dx = ⋅ . (2)【答案】 3 6 π + 【解析】令 y x ′ =− = 1 2sin 0 ,得[0, ] 2 π 内驻点 6 x π = . 因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值. 又 y(0) 2 = , () 3 6 6 y π π = + , ( ) 2 2 y π π= , 可见最大值为 () 3 6 6 y π π = + . (3)【答案】0 【解析】由等价无穷小,有 x → 0 时, 2 22 1 1 11 ( ) 2 2 −− −− = x xx ,故 2 2 0 0 1 ( ) 1 1 2 lim lim cos cos x x x x x x → → exex − − − − = − − , 上式为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点0 处导数都存在,由洛必达法则,有 原式 0 lim 0 sin x x x → e x = = + . (4)【答案】 1 ln 2 2 【解析】令b → +∞ , 原式 2 2 2 2 1 1 1 lim lim ( 1) ( 1) b b b b dx x x dx →+∞ x x →+∞ x x + − = = + + ∫ ∫ 2 1 1 lim ( ) 1 b b x dx →+∞ x x = − + ∫ (分项法) 2 1 2 1 1 1 lim ln lim 2 1 b b b b x dx →+∞ →+∞ x = − + ∫ (凑微分法) 2 1 1 1 lim ln lim ln( 1) 2 b b b b x x →+∞ →+∞ =− + 2 1 lim ln ln 2 b 1 2 b b →+∞ = + + 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634