更多考研资料分享+qq8109586341991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.）(1)设y= ln(1+3),则dy =(2）曲线y=e-r的上凸区间是(o In x dx =(3)-元(4)质点以速度tsin(t)米每秒作直线运动，则从时刻t：秒到1=元秒内质点所经V2米.过的路程等于11-er(5)lim-0x+er二、选择题（每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）(1）若曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy在点(l,-l)处相切,其中a,b是常数，则（）(A) α=0,b=-2(B) α=1,b=-3(C) a=-3,b=1(D) a=-1,b=-1[ x, 0≤x} 记F(x)=J f()d,0≤x≤2,则(2）设函数f(x)=L2-x,1<x≤21xx30≤x≤10≤x≤13'S(A) F(x)=(B) F(x)=x2x2-7(5+2r-,1<x≤21<x≤2326r3x30≤x≤10≤x≤133’(C) F(x) =(D) F(x)=x2x2x2,l<x≤2+2x2,1<x≤2322（(3）设函数f(x)在(-o0,+o)内有定义，x0是函数f(x)的极大点,则(B)-X必是-f(-x)的极小点(A）X必是f(x)的驻点更多考研资料分享+qq810958634
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 设 ln(1 3 )x y − = + ,则 dy = ＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线 2 x y e− = 的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3) 2 1 ln x dx x +∞ = ∫ ＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度 2 t t sin( ) 米每秒作直线运动,则从时刻 1 2 t π = 秒到 2t = π 秒内质点所经 过的路程等于＿＿＿＿＿＿米. (5) 1 1 0 1 lim x x x e x e → + − = + ＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把 所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 若曲线 2 y x ax b =++ 和 3 2 1 y xy =− + 在点(1, 1) − 处相切,其中a b, 是常数,则 ( ) (A) a b = = − 0, 2 (B) a b = = − 1, 3 (C) a b =− = 3, 1 (D) a b =− =− 1, 1 (2) 设函数 2 , 0 1, ( ) 2 ,1 2, x x f x x x ≤ ≤ = − <≤ 记 0 ( ) ( ) ,0 2 x F x f t dt x = ≤≤ ∫ ,则 ( ) (A) 3 2 , 0 1 3 ( ) 1 2 ,1 2 3 3 x x F x x x x ≤ ≤ = + − <≤ (B) 3 2 , 0 1 3 ( ) 7 2 ,1 2 6 2 x x F x x x x ≤ ≤ = −+ − <≤ (C) 3 2 2 , 0 1 3 ( ) 2 ,1 2 3 2 x x F x x x x x ≤ ≤ = + − <≤ (D) 3 2 , 0 1 3 ( ) 2 ,1 2 2 x x F x x x x ≤ ≤ = − <≤ (3) 设函数 f x( ) 在(,) −∞ +∞ 内有定义, 0 x ≠ 0是函数 f x( ) 的极大点,则 ( ) (A) 0 x 必是 f x( ) 的驻点 (B) 0 −x 必是− − f x ( ) 的极小点 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634(C）-x必是-f(x)的极小点(D）对一切x都有f(x)≤f(x)I+e-r()(4）曲线y=1-e-r（A）没有渐近线(B）仅有水平渐近线(C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线又有铅直渐近线(5）如图，x轴上有一线密度为常数u，长度为/的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距()离为α，已知引力系数为k，则质点和细杆之间引力的大小为1a.一戈0mkmμkmμ(B)(A)dLakmμkmp(C)dd(D)(a+x)(a+x)三、（每小题5分，满分25分.）x=tcostd'y(1)设求dx?v=tsint1dx(2)计算x(1 +/x)x-sinxlim-(3) 求x-→0 x (e-1)(4) 求xsin'xdx.(5）求微分方程xy+y=xe"满足y(1)=1的特解.四、(本题满分9分)In(1+ x)x利用导数证明：当x>1时，有不等式成立Inx1+x五、(本题满分9分)求微分方程y"+y=x+cosx的通解，六、(本题满分9分)更多考研资料分享+qq810958634
(C) 0 −x 必是− f x( ) 的极小点 (D) 对一切 x 都有 0 fx fx () ( ) ≤ (4) 曲线 2 2 1 1 x x e y e − − + = − ( ) (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (5) 如图, x 轴上有一线密度为常数 µ ,长度为l 的细杆,有一质量为 m 的质点到杆右端的距 离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( ) (A) 0 2 ( ) l km dx a x µ − − ∫ (B) 2 0 ( ) l km dx a x µ − ∫ (C) 0 2 2 2 ( ) l km dx a x µ − + ∫ (D) 2 2 0 2 ( ) l km dx a x µ + ∫ 三、(每小题 5 分,满分 25 分.) (1) 设 cos sin xt t yt t = = ,求 2 2 d y dx . (2) 计算 4 1 (1 ) dx x x + ∫ . (3) 求 2 0 sin lim ( 1) x x x x → x e − − . (4) 求 2 x xdx sin ∫ . (5) 求微分方程 x xy y xe ′ + = 满足 y(1) 1 = 的特解. 四、(本题满分 9 分) 利用导数证明：当 x >1时,有不等式 ln(1 ) ln 1 x x x x + > + 成立. 五、(本题满分 9 分) 求微分方程 y yx x ′′ +=+ cos 的通解. 六、(本题满分 9 分) O l a m x 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634曲线y=（x-1)(x-2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、（本题满分9分）如图，A和D分别是曲线y=e"和y=e-2x上的点，AB和DC均垂直x轴，且AB:DC=2:1，AB<1,求点B和C的横坐标，使梯形ABCD的面积最大yy=ery=ADcxB0八、（本题满分9分）设函数f(x)在(-0,+o0)内满足f(x)=f(x-元)+sinx,且f(x)=x,xe[0,元),f(x)dx.计算更多考研资料分享+qq810958634
曲线 yx x =− − ( 1)( 2)和 x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋 转体的体积. 七、(本题满分 9 分) 如图, A 和 D 分别是曲线 x y e = 和 2x y e− = 上的点, AB 和 DC 均垂直 x 轴,且 AB DC : 2:1 = , AB <1,求点 B 和C 的横坐标,使梯形 ABCD 的面积最大. 八、(本题满分 9 分) 设函数 f x( ) 在(,) −∞ +∞ 内满足 fx fx x ( ) ( ) sin = −+ π ,且 f x xx ( ) , [0, ) = ∈ π , 计算 3 f x dx ( ) π ∫π . x y B O C 1 x y e = 2x y e− = D A 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq8109586341991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.）In3C(1)【答案】3* +1【解析】由复合函数求导法则，即y=(f(x))的微分为dy=(f(x))f(x)dx，有1In3dxdy=·3-In3.(-1)dx =1 + 3-x3*+1￥11(2)【答案】（-2V2【解析】求函数y=f(x)的凹凸区间，只需求出y"，若y">0，则函数图形为上凹，若y"<0，则函数图形为上凸，由题可知y'=e-r -(-2x)=-2xe-y" =-2e-* +(-2x)e- (-2x)= 4e-* (x2<0时<0，函数图像上凸，即<,-V2>0,所以当_！因为4e-时222211函数图像上凸.故曲线上凸区间为（一(3）【答案】1【解析】用极限法求广义积分o-mrn dx= lm"in xd(-分部In:lim[}-(-dInbInl-lm(+)+=1.= limC.6b-→+0o1(4）【答案】2【解析】这是定积分的应用。设在t→t+dt时刻的速度为tsin(t），则在dt时间内的路程为ds=tsin(t)dt，所以更多考研资料分享+qq810958634
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】 ln 3 3 1 x − dx + 【解析】由复合函数求导法则,即 y fx =ϕ( ( ))的微分为dy f x f x dx =ϕ′ ′ ( ( )) ( ) ,有 1 ln 3 3 ln 3 ( 1) 1 3 3 1 x x x dy dx dx − − = ⋅ ⋅ − =− + + . (2)【答案】 1 1 ( ,) 2 2 − 【解析】求函数 y fx = ( ) 的凹凸区间,只需求出 y′′ ,若 y′′ > 0 ,则函数图形为上凹,若 y′′ < 0,则函数图形为上凸,由题可知 2 2 (2) 2 , x x y e x xe − − ′ = ⋅ − =− 22 2 2 1 2 (2) (2) 4 ( ) 2 xx x y e xe x e x −− − ′′ =− + − ⋅ − = − . 因为 2 4 0 x e− > ,所以当 2 1 0 2 x − < 时 y′′ < 0 ,函数图像上凸,即 2 12 2 , 22 2 x x < − << 时, 函数图像上凸.故曲线上凸区间为 1 1 ( ,) 2 2 − . (3)【答案】1 【解析】用极限法求广义积分. 2 2 1 11 ln ln 1 lim lim ln ( ) b b b b x x dx dx xd xx x +∞ →+∞ →+∞ = = − ∫ ∫∫ 1 1 ln 1 1 lim ( ) b b b x dx →+∞ x xx = − −− ∫ 分部 1 ln ln1 1 ln 1 lim lim ( ) 1 1 1 b b b b b →+∞ b x bb →+∞ = − + + − =− + + = . (4)【答案】 1 2 【解析】这是定积分的应用. 设在t t dt → + 时刻的速度为 2 t t sin( ) ,则在 dt 时间内的路程为 2 ds t t dt = sin( ) ,所以 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634元秒到1，=√元秒内质点所经过的路程为从时刻t,=V2tsin(t)dt1 rVaVtsin(t)dt =sin(t)dt?元/22J1元/2N1元cos(t2)1-0)=（COS元-COS）222221元/2(5）【答案】-11【解析】这是一个型未定式，分子分母同乘以e，得81.11-erex= limlim1X0*X20x+erxe+111则x=，原式可化为为简化计算，令t=x110-1et-1erlim= lim-11e'0+1X→0*×+1+1xet二、选择题（每小题3分，满分15分.）(1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切，则在该点处的切线的斜率相等，即在该点处的导数相等，对两函数分别对x求导，得y'=2x+a,则该曲线在点(1,-1)处的导数为y=,=2+a，32y=y3+3xy?y即y-，则曲线在点(1,-1)处的导数为2-3xy2(-1)31yl=l=2 3·1·(1)2两导数相等，有2+a=1,即a=-1.又因为曲线y=x2+ax+b过点(1,-1)，所以有-1=1+a+b=1-1+b=b,b=-1所以选项(D)正确(2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分.更多考研资料分享+qq810958634
从时刻 1 2 t π = 秒到 2t = π 秒内质点所经过的路程为 2 1 2 sin( ) t t s t t dt = ∫ 2 2 2 / 2 / 2 1 sin( ) sin( ) 2 t t dt t dt π π π π = = ∫ ∫ 2 / 2 1 1 11 cos( ) (cos cos ) ( 1 0) 2 2 22 2 t π π π = − =− − =− − − = π . (5)【答案】−1 【解析】这是一个 ∞ ∞ 型未定式,分子分母同乘以 1 x e − ,得 1 1 1 1 0 0 1 1 lim lim 1 x x x x x x e e x e xe + + − → → − − − = + + . 为简化计算,令 1 t x = − ,则 1 x t = − ,原式可化为 1 1 0 1 1 01 lim lim 1 0 1 1 1 t x t x t x e e e xe t + − → − →−∞ − −− = = = − + + − + . 二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等, 对两函数分别对 x 求导,得 y xa ′ = + 2 ,则该曲线在点(1, 1) − 处的导数为 1 2 x y a = ′ = + , 3 2 2 3 y y xy y ′ ′ = + ,即 3 2 2 3 y y xy ′ = − ,则曲线在点(1, 1) − 处的导数为 3 1 2 ( 1) 1 2 3 1 ( 1) x y = − ′ = = − ⋅⋅− , 两导数相等,有 2 1 + = a ,即a = −1. 又因为曲线 2 y x ax b =++ 过点(1, 1) − ,所以有− = + + = − + = =− 1 1 11 , 1 a b b bb . 所以选项(D)正确. (2)【答案】(B) 【解析】这是分段函数求定积分. 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634