更多考研资料分享+qq810958634算，最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结，积累经验【相关知识点】分部积分公式：假定u=u(x）与v=v(x)均具有连续的导函数，则['dx=-u'dx,或者udy=u-vdu（5）【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程，其标准形式为1J'+xlnxxdxInxei=lnxl，两边乘以Inx得(ylnx)=由于xInxdx+C,ylnx:积分得xInx.C通解为PInxInx7代入初始条件=1可得C=，所求特解为y222lnx四、(本题满分9分)dy-b'xxdx,ydy=0=【解析】对椭圆方程进行微分，有a?b?dxay过曲线上已知点(xo,%)的切线方程为y-=k(x-x)，当y(x)存在时，k=y(x）.b'x(X-x),化简得到些+兴=1.所以点(x,y)处的切线方程为Y-y.a?62ayα?b2分别令X=0与Y=0,得切线在x,上的截距分别为xy又由椭圆的面积计算公式元ab，其中a,b为半长轴和半短轴，故所求面积为1αb21S=πab,xe(0,a).2xy4ab为常数，欲使得S的最小，则应使得xy最大：从而问题化为求u=xy（y由椭圆方程所确定）当xE(O,α)时的最大值点yx?=1两边求导得+，令==+=，得y=，再对y=0,联b?a?b?a?x更多考研资料分享+qq810958634
算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 【相关知识点】分部积分公式：假定u ux = ( ) 与v vx = ( ) 均具有连续的导函数,则 uv dx uv u vdx ′ ′ = − , ∫ ∫ 或者 udv uv vdu = − . ∫ ∫ (5)【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 1 1 ln y y xx x ′ + = . 由于 ln | ln | dx x x e x ∫ = ,两边乘以ln x 得 ln ( ln ) x y x x ′ = . 积分得 ln ln x y x dx C x = + ∫ , 通解为 ln 2 ln x C y x = + . 代入初始条件 1 x e y = = 可得 1 2 C = ,所求特解为 ln 1 2 2ln x y x = + . 四、(本题满分 9 分) 【解析】对椭圆方程进行微分,有 2 2 0 xdx ydy a b + = 2 2 dy b x dx a y ⇒ =− . 过曲线上已知点 0 0 (, ) x y 的切线方程为 0 0 y y kx x −= − ( ) ,当 0 y x ′( ) 存在时, 0 k yx = ′( ) . 所以点(, ) x y 处的切线方程为 2 2 ( ) b x Yy Xx a y − =− − ,化简得到 2 2 1 xX yY a b + = . 分别令 X = 0 与Y = 0 ,得切线在 x y, 上的截距分别为 2 2 , a b x y ； 又由椭圆的面积计算公式π ab ,其中a b, 为半长轴和半短轴,故所求面积为 2 2 1 1 , (0, ) 2 4 a b S ab x a x y = ⋅− ∈ π . a b, 为常数,欲使得 S 的最小,则应使得 xy 最大；从而问题化为求u xy = ( y 由椭圆方程所 确定)当 x a ∈(0, ) 时的最大值点. 令u xy u xy y = = += , 0 ′ ′ ,得 y y x ′ = ,再对 2 2 2 2 1 x y a b + = 两边求导得 2 2 0 x y y a b + =′ ,联 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634a合可得x（唯一驻点），即在此点u=xy取得最大，S取得最小值V2a必为最小由于limS(x)=lim S(x)=+oo,所以S(x)在(0,a)上存在最小值，xX-0x-→a-(V2ab)点，所求P点为22)五、(本题满分9分)【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边，令其为f（x），另一边剩下0再在给定区间内讨论f(x）的单调性即可证明原不等式1.11_元,则f(x)=0(x>0).因此，f(x)在令f(x)=arctanx+<0x21+x2x2元，所以(O,+oo)上单调减；又有limarctanx=21im ()= lim(+1-号)= lim 1=0→+ 2 x2x→+X故0<x<+oo时，f(x）)>limf(x）=0，所以原不等式得证六、（本题满分9分）rInt-1,dt=dt，由换元积分t:【解析】方法1：f(-)=-du, t:1-→=u:1→x:Ji1+tu3uxx1InuIntdi=所以f()=duu(u+1)1+tX由区间相同的积分式的可加性，有IntexIntoxInt-dt+f(x)+ fdt:dt:-lnx111+tt(t+1)2t，则方法2：令F(x)=f(x)+f(XnInx-1InxtF'(x)=x21+x1x1+-x由牛顿-莱布尼兹公式，有InxIn2xF(x)- F(1):dx=2X更多考研资料分享+qq810958634
合可得 2 a x = (唯一驻点),即在此点u xy = 取得最大, S 取得最小值. 由于 0 0 lim ( ) lim ( ) x x a Sx Sx → + → − = = +∞ ,所以 S x( ) 在(0, ) a 上存在最小值, 2 a x = 必为最小 点,所求 P 点为 , 2 2 a b . 五、(本题满分 9 分) 【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为 f x( ) ,另一边剩下 0, 再在给定区间内讨论 f x( ) 的单调性即可证明原不等式. 令 1 ( ) arctan 2 fx x x π = +− ,则 2 2 1 1 ( ) 0 ( 0) 1 f x x x x ′ = −< > + .因此, f x( ) 在 (0, ) +∞ 上单调减；又有 lim arctan x 2 x π →+∞ = ,所以 1 1 lim ( ) lim ( ) lim 0 xx x 2 2 f x x x π π →+∞ →+∞ →+∞ = +− = = , 故0 < < +∞ x 时, ( ) lim ( ) 0 x fx fx →+∞ > = ,所以原不等式得证. 六、(本题满分 9 分) 【解析】方法 1： 1 1 1 ln ( ) 1 x t f dt x t = + ∫ ,由换元积分 1 t u = , 2 1 dt du u − = , 1 t :1 x → ⇒ u x :1→ ； 所以 1 1 1 1 1 ln ln ( ) 1 ( 1) t u x x t u f dt du x t uu = = = + + ∫ ∫ . 由区间相同的积分式的可加性,有 1 fx f () ( ) x + = 2 11 1 ln ln ln 1 ln 1 ( 1) 2 xx x tt t dt dt dt x t tt t + == + + ∫∫ ∫ . 方法 2：令 1 Fx f x f () () ( ) x = + ,则 2 1 ln ln 1 ln ( ) . 1 1 1 x x x F x x xx x − ′ = + ⋅= + + 由牛顿-莱布尼兹公式,有 1 ln ( ) (1) x x F x F dx x − = ∫ 1 2 ln 2 = x , 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634"lnxdx=0,故F(x)=(x)+()()=lIn' x.而 F(I)=2X【相关知识点】牛顿-莱布尼兹公式：设函数f(x)在[a,b]上连续，F(x)为f(x)在[a,b]上的任意一个原函数，则有[" f(x)dx= F(x)。= F(b)- F(a)七、(本题满分9分)【解析】先求得切线方程：对抛物线方程求导数，得V1，过曲线上已知点（xo,yo）的切线方程y:2/x-2为y-y=k(x-x),当y(x)存在时,k=y(x)VX所以点(xo,x-2)处的切线方程为2311y-Vx-2:(x-xo)2./x-2此切线过点P(1,0)，所以把点P(1,0)代入切线方程得x。=3，再x。=3代入抛物线方程得11.由此，与抛物线相切于(3,1)斜率为的切线方程为% =1, y(3) =2/3-2x-2y=1.旋转体是由曲线y=f(x),直线x-2y=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的，求旋转体体积V：方法1：曲线表成V是x的函数，V是两个旋转体的体积之差，套用已有公式得V=元(x-1)dx-元[(Vx-2)dx-2x1X.T436方法2；曲线表成x是y的函数，并作水平分割，相应于[y,y+dj]小横条的体积微元,如上图所示，dV =2元y[(y2 +2)-(2y+1)]dy,更多考研资料分享+qq810958634
而 1 1 ln (1) 0 x F dx x = = ∫ ,故 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ln 2 Fx f x f x x =+ = . 【相关知识点】牛顿-莱布尼兹公式：设函数 f x( ) 在[,] a b 上连续, F x( )为 f x( ) 在[,] a b 上 的任意一个原函数,则有 ( ) ( ) ( ) ( ). b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫ 七、(本题满分 9 分) 【解析】先求得切线方程：对抛物线方程求导数,得 1 2 2 y x ′ = − ,过曲线上已知点 0 0 (, ) x y 的切线方程 为 0 0 y y kx x −= − ( ) ,当 0 y x'( ) 存在时, 0 k yx = '( ) . 所以点 0 0 ( , 2) x x − 处的切线方程为 0 0 0 1 2 () 2 2 y x x x x − −= − − , 此切线过点 P(1,0) ,所以把点 P(1,0) 代入切线方程得 0 x = 3,再 0 x = 3代入抛物线方程得 0 y =1, 1 1 (3) . 23 2 2 y′ = = − 由此,与抛物线相切于(3,1)斜率为 1 2 的切线方程为 x y − = 2 1. 旋转体是由曲线 y fx = ( ), 直线 x y − = 2 1与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所 形成的,求旋转体体积V ： 方法 1：曲线表成 y 是 x 的函数,V 是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得 3 3 2 2 1 2 1 ( 1) ( 2) 4 V x dx x dx = −− − π π ∫ ∫ 3 3 3 2 1 2 11 1 ( 1) ( 2 ) 43 2 6 x xx π =⋅− − − = π π . 方法 2：曲线表成 x 是 y 的函数,并作水平分割,相应于[ ] y y dy , + 小横条的体积微元,如上 图所示, 2 dV y y y dy = +− + 2 ( 2) (2 1) , π 1 x y O 1 2 y 3 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq8109586342/-2+=2(+于是，旋转体体积学【相关知识点】1.由连续曲线y=f(x）、直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：V=元f(x)dx2.设f(x)在[a,b]连续，非负，a>0,则曲线y=f(x)，直线x=a,x=b及x轴围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为：V=2元[xf(x)dx(可用微元法导出)八、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程，特征方程r2+4r+4=0的根为r==-2,原方程右端e"=e*中的α=a.1当α=a±-2时，可设非齐次方程的特解Y=Ae，代入方程可得A(α +2)?1当α=α=-2时，可设非齐次方程的特解Y=x?Ae，代入方程可得A=2eaxy=(G +C,x)e-2*+_所以通解为(a±-2),(a +2)y=(G +C)e+ 'e"*(α = -2).2【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y（x）是二阶线性非齐次方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程y"+P(x)y'+Q(x)y=O的通解,则y=Y(x)+y(x)是非齐次方程的通解2．二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即y"+P(x)y+Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为y"+py+qy=0.其特征方程写为r+pr+q=0，在复数域内解出两个特征根ri,5;分三种情况：(1）两个不相等的实数根r,2，则通解为y=C,e"+C,e"；(2）两个相等的实数根ri=r2，则通解为y=(C,+C,x)em;更多考研资料分享+qq810958634
于是,旋转体体积 1 3 2 0 V y y y dy = −+ 2( 2 ) π ∫ 432 121 1 2 432 0 π yyy = −+ 6 π = . 【相关知识点】1.由连续曲线 y fx = ( ) 、直线 x ax b = = , 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴 旋转一周所得的旋转体体积为： 2 ( ) b a V f x dx = π ∫ . 2.设 f x( ) 在[,] a b 连续,非负, a > 0 ,则曲线 y fx = ( ) ,直线 x ax b = = , 及 x 轴围成的平 面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积为： 2 () b a V xf x dx = π ∫ (可用微元法导出). 八、(本题满分 9 分) 【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程 2 r r + += 4 40 的根为 1 2 r r = = −2 ,原方程右端 ax x e eα = 中的α = a . 当α = ≠− a 2 时,可设非齐次方程的特解 ax Y Ae = ,代入方程可得 2 1 ( 2) A a = + , 当α = = − a 2 时,可设非齐次方程的特解 2 ax Y x Ae = ,代入方程可得 1 2 A = , 所以通解为 2 1 2 2 ( ) ( 2) ( 2) ax x e y c cxe a a − = + + ≠ − + , 2 2 2 1 2 ( ) ( 2) 2 x x x e y c cxe a − − =+ + = − . 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 * y x( ) 是二阶线性非齐次方程 y Pxy Qxy f x ′′ ′ ++= () () () 的一个特解.Y x( ) 是与之对应的齐次方程 y Pxy Qxy ′′ ′ ++= () () 0 的通解,则 * y Yx y x = + () ()是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 Y x( ) ,可用特征方程法求解：即 y Pxy Qxy ′′ ′ ++= () () 0 中的 P x( )、Q x( ) 均是常数,方程 变为 y py qy ′′ ′ + += 0 .其特征方程写为 2 r pr q + += 0 ,在复数域内解出两个特征根 1 2 r r, ； 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根 1 2 r r, ,则通解为 1 2 1 2 ; rx r x y Ce Ce = + (2) 两个相等的实数根 1 2 r r = ,则通解为 ( ) 1 1 2 ; rx y C Cx e = + 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634(3）一对共轭复根ri2=α±iβ，则通解为y=e(C,cosβx+C,sinβx).其中C,C,为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解y(x)，可用待定系数法，有结论如下：如果f(x)=Pm(x)e*,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)=x*Om(x)exx的特解，其中Q.(x）是与P(x)相同次数的多项式，而k按入不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.更多考研资料分享+qq810958634
(3) 一对共轭复根 1,2 r i = ± α β ,则通解为 ( 1 2 cos sin .) x y e C xC x α = β β + 其中 1 2 C C, 为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程 y Pxy Qxy f x ′′ ′ ++= () () () 的一个特解 * y x( ) ,可用待定 系数法,有结论如下： 如果 () () , x m f x P xeλ = 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 * () () k x m y x xQ xeλ = 的特解,其中 ( ) Q x m 是与 ( ) P x m 相同次数的多项式,而 k 按 λ 不是特征方程的根、是特征方 程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2. 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634