更多考研资料分享+qq8109586341/3313(x3)法线斜率为k=3.所以过已知点的法线方程为y88【相关知识点】复合函数求导法则：如果u=g(x)在点x可导，而y=f(x)在点u=g(x)可导,则复合函数y=[g(x))在点x可导，且其导数为= (u),g(n)或=崇dxdx du dxtan!21 -11+eancos.-1-sin-x.sec?(2）【答案】exx?xx?x【解析】原函数对x求导，有tan--sn++(sn).sin2xx1sintan-ecosFexxxx-1211cos-.3sin-x.sec-+e=exxx x2x【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式：[f(x)·g(x)l= f'(x)·g(x)+ f(x)·g(x)2.复合函数的求导法则：如果u=g(x)在点x可导，而y=f(x)在点u=g(x)可导，则复合函数y=[g(x)在点x可导，且其导数为兴=[(n),g(n)或兴-业典dxdxdu dx4(3）【答案】15【解析】对于原定积分，有换元法或拆项法可选择，不管是何种方法，最终的目的都是去掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果方法1：换元法，令/1-x=t原积分区间为0≤x≤1,则0≤1-x≤1,进而0≤V1-x≤1,新积分区间为0≤t≤1：当x=0时，t=1，当x=1时，t=0，故新积分上限为0，下限为1.-1dx=-1d/i-x=dt=dt=dx,则dx=-2tdt.2V1-x21更多考研资料分享+qq810958634
6 1 3 x t y π = ′ = − ； 法线斜率为k = 3.所以过已知点的法线方程为 1 3 3( 3). 8 8 y x −= − 【相关知识点】复合函数求导法则： 如果 u gx = ( ) 在点 x 可导,而 y fx = ( ) 在点 u gx = ( ) 可导,则复合函数 y f gx = [ ] ( ) 在点 x 可导,且其导数为 () () dy fu gx dx = ⋅ ′ ′ 或 dy dy du dx du dx = ⋅ . (2)【答案】 1 1 tan tan 2 2 2 11 1 11 sec sin cos x x e e xx x xx − − ⋅ ⋅⋅ + ⋅ 【解析】原函数对 x 求导,有 1 11 tan 1 11 tan tan sin sin sin x xx ye e e x xx ′ ′ ′ ′ = ⋅ = ⋅ +⋅ 1 1 tan 1 1 11 tan tan sin cos x x e e x x xx ′ ′ = ⋅ +⋅ 1 1 tan tan 2 2 2 11 1 11 sec sin cos . x x e e xx x xx − − = ⋅ ⋅⋅ + ⋅ 【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式： [ ] f x gx f x gx f x g x () () () () () () ′ ⋅ = ⋅+⋅ ′ ′ . 2.复合函数的求导法则: 如果u gx = ( ) 在点 x 可导,而 y fx = ( ) 在点u gx = ( ) 可导,则复合函数 y f gx = [ ] ( ) 在点 x 可导,且其导数为 () () dy fu gx dx = ⋅ ′ ′ 或 dy dy du dx du dx = ⋅ . (3)【答案】 4 15 【解析】 对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何种方法,最终的目的都是去 掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果. 方法 1：换元法,令 1− = x t ,原积分区间为0 1 ≤ ≤x ,则01 1 ≤− ≤x ,进而01 1 ≤ −≤ x , 新积分区间为0 1 ≤ ≤t ；当 x = 0 时, t =1,当 x =1时, t = 0 ,故新积分上限为 0,下限为 1. d x dt 1− = ⇒ 1 1 2 1 2 dt dx dx x t − − = = − ,则dx tdt = −2 . 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634原式 ={(1-t).t(-2tdt)=2f(2 -)dt=2( ---2(6-)-1方法2：拆项法，x=(x-1)+1原式 =['[(x-1)+1]VI-xdx= J /1- xdx- I (1-x) dx--(-,[-(-0[-(4）【答案】>【解析】由于e-，e在[-2,-1]连续且e>e",根据比较定理得到['er'dx>erdx【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较，有“比较定理”如下：若f(x)与g(x)在区间[a,b](a,b为常数，a<b)上连续且可积,且f(x)≥g(x),则有(x)dx≥I' g(x)dx(5）【答案】1【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域，不能遗漏，求出复合后函数的所有可能的解析式，根据f(x)的定义知，当|x1时,有f(x)=1.代入f[f(x)]，又f(1)=1.于是当|x1时，复合函数fLf(x))=1;当|x>1时，有f(x）=0.代入fIf(x）l又f(0)=1即当|x1时，也有ff(x）l=1因此,对任意的x(-00,+0),有[f(x))=1二、选择题（每小题3分，满分15分.）(1）【答案】C【解析】本题考查多项式之比当x→0时的极限由题设条件，有更多考研资料分享+qq810958634
原式 0 2 1 = − ⋅⋅− (1 ) ( 2 ) t t tdt ∫ ( ) 1 1 2 4 3 5 0 0 1 1 2 2 3 5 t t dt t t = −= − ∫ 11 4 2 . 3 5 15 = −= 方法 2：拆项法, x x = −+ ( ) 1 1, 原式 ( ) 1 0 = x −+ − 111 xdx ∫ ( ) 3 1 1 2 0 0 = −−− 1 1 xdx x dx ∫ ∫ ( ) ( ) 1 1 3 5 2 2 0 0 2 2 1 1 3 5 =− − + − x x 22 4 . 3 5 15 =−= (4)【答案】> 【解析】由于 3 x e− , 3 x e 在[ 2, 1] − − 连续且 3 x e− > 3 x e ,根据比较定理得到 1 3 2 x e dx − − − > ∫ 1 3 2 x e dx − ∫− . 【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较,有“比较定理”如下： 若 f x( ) 与 g x( ) 在区间[,] a b ( a b, 为常数, a b < )上连续且可积,且 f x( ) ≥ g x( ) ,则 有 () () . b b a a f x dx g x dx ≥ ∫ ∫ (5)【答案】1 【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域,不能遗漏,求出复合后 函数的所有可能的解析式. 根据 f x( ) 的定义知,当| |1 x ≤ 时,有 f x( ) 1. = 代入 ffx [ ( )],又 f (1) 1. = 于是当| |1 x ≤ 时,复合函数 ffx [ ( )] 1 ≡ ； 当| |1 x > 时,有 f x( ) 0. = 代入 ffx [ ( )],又 f (0) 1, = 即当| |1 x > 时,也有 ffx [ ( )] 1 ≡ . 因此,对任意的 x∈ −∞ +∞ (,) ,有 ffx [ ( )] 1 ≡ . 二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】C 【解析】本题考查多项式之比当 x → ∞时的极限. 由题设条件,有 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634(1-a)x2-(a+b)x-b= limlimx+1t1-a=0,(1-a)x2-(a+b)x-b0分析应有否则limx+1[a+b=0,o所以解以上方程组，可得α=1,b=-1.所以此题应选C.(2）【答案】B【解析】由函数的不定积分公式若F(x)是f(x)的一个原函数,「f(x)dx=F(x)+C,dF(x)=f(x)dx,有dl f(x)dx]=[f f(x)dx)dx= f(x)dx.所以本题应该选(B).(3）【答案】A【解析】本题考查高阶导数的求法为方便记=f(x).由y=y2,逐次求导得y"=2yy'=2y3,y"=3!yy'=3!y4,.,由第一归纳法,可归纳证明y(")=n!y+1.假设n=k成立，即y(k)=k!yk+，则(+) [(] -[1**] =(+1)]* y=(k+1)1g(+),所以n=k+1亦成立，原假设成立（4）【答案】A【解析】对F(x)=[f(0)di两边求导数得F'(x)= f(e-*)(e-*)'- f(x)(x)' = -e"*f(e-")- f(x)故本题选A.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 F(t)=f(x)dx，α(t)，β(t)均一阶可导，则F'(t)= β'(t)- [β(t)]-α'(t)· f [α()]2.复合函数求导法则：如果u=g(x)在点x可导,而y=f(x)在点u=g(x)可导,则复合函数y=f[g(x))更多考研资料分享+qq810958634
2 2 (1 ) ( ) lim lim 0 x x 1 1 x ax a bx b ax b →∞ x x →∞ − −+ − −−= = + + , 分析应有 1 0, 0, a a b − = + = 否则 2 (1 ) ( ) lim 0 x 1 ax a bx b →∞ x − −+ − ≠ + . 所以解以上方程组,可得 a b = = − 1, 1.所以此题应选 C. (2)【答案】B 【解析】由函数的不定积分公式: 若 F x( )是 f x( ) 的一个原函数, f x dx F x C () () = + ∫ , dF x f x dx () () = ,有 d f x dx f x dx dx f x dx [ () ] [ () ] () . = ′ = ∫ ∫ 所以本题应该选(B). (3)【答案】A 【解析】本题考查高阶导数的求法. 为方便记 y fx = ( ) .由 2 y y ′ = ,逐次求导得 3 y yy y ′′ ′ = = 2 2, 2 4 y yy y ′′′ ′ = = 3! 3! , , 由第一归纳法,可归纳证明 () 1 ! n n y ny + = . 假设n k = 成立,即 () 1 ! k k y ky + = ,则 ( ) ( 1) ( ) 1 ! 1! kk k k y y ky k y y + + ′ ′ = = =+ ⋅ ′ ( ) ( ) 1 1 1 ! k k y + + = + , 所以n k = +1亦成立,原假设成立. (4)【答案】A 【解析】对 ( ) () x e x F x f t dt − = ∫ 两边求导数得 ( ) ( )( ) ( )( ) x x F x fe e fx x − − ′ ′′ = − ( ) ( ). x x e fe fx − − =− − 故本题选 A. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式： 若 ( ) ( ) () ( ) t t F t f x dx β α = ∫ ,α( )t , β ( )t 均一阶可导,则 Ft t f t t f t ′′ ′ () () () () () =⋅ −⋅ β βα α [ ] [ ] . 2.复合函数求导法则： 如果u gx = ( ) 在点 x 可导,而 y fx = ( ) 在点u gx = ( ) 可导,则复合函数 y f gx = [ ] ( ) 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634dy=(u).g(x)或在点x可导，且其导数为dxdu dxdx(5）【答案】Bf(x)f(x)-f(0)limlim F(x)=lim【解析】由于x-0x→>0x-→0x→>0x由函数在一点处导数的定义，Ayf(xo + Ax)- f(xo)= limf'(xo)= limArAr-0△xAr→0得lim F(x)=f'(0)+0=f(0)=F(0),所以函数不连续，且极限存在但不等于函数值，故为第一类（可去）间断点，故本题选B【相关知识点】1.函数y=f(x)在点x连续：设函数f(x)在点x的某一邻域内有定义，如果limf(x)=f(x),则称函数f(x)在点x连续.2.函数f(x）的间断点或者不连续点的定义：设函数f(x）在点x的某去心邻域内有定义，只要满足一下三种情况之一即是间断点(1）在x=x没有定义：(2）虽在x=x。有定义，但limf(x)不存在；(3）虽在x=x有定义,且limf(x)存在，但limf(x)±f(xo);通常把间断点分成两类：如果x是函数f(x）的间断点，但左极限f(x）及右极限f(x）都存在，那么x称为函数f(x）的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.三、（每小题5分，满分25分.）(1）【解析】此题考查重要极限：lim(1+x(1+-)a(1+$qea1xlim(=lim=lim=9yro--a-a1(1xx得2a=In9=α=ln32a2ax-ax+a或由lim(=lim|1+=ox-aa同理可得a=ln3(2）【解析】方程两边求微分，得更多考研资料分享+qq810958634
在点 x 可导,且其导数为 () () dy fu gx dx = ⋅ ′ ′ 或 dy dy du dx du dx = ⋅ . (5)【答案】B 【解析】由于 00 0 ( ) ( ) (0) lim ( ) lim lim xx x 0 fx fx f F x →→ → x x − = = − , 由函数在一点处导数的定义, 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim lim , x x y fx x fx f x ∆→ ∆→ x x ∆ +∆ − ′ = = ∆ ∆ 得 0 lim ( ) (0) 0 (0) (0), x Fx f f F → = ≠= = ′ 所以函数不连续,且极限存在但不等于函数值,故为第一类(可去)间断点,故本题选 B. 【相关知识点】1. 函数 y fx = ( ) 在点 0 x 连续：设函数 f x( ) 在点 0 x 的某一邻域内有定义, 如果 0 0 lim ( ) ( ), x x fx fx → = 则称函数 f x( ) 在点 0 x 连续. 2.函数 f x( ) 的间断点或者不连续点的定义：设函数 f x( ) 在点 0 x 的某去心邻域内有定义, 只要满足一下三种情况之一即是间断点. (1) 在 0 x x = 没有定义； (2) 虽在 0 x x = 有定义,但 0 lim ( ) x x f x → 不存在； (3) 虽在 0 x x = 有定义,且 0 lim ( ) x x f x → 存在,但 0 0 lim ( ) ( ); x x fx fx → ≠ 通常把间断点分成两类：如果 0 x 是函数 f x( ) 的间断点,但左极限 0 f x( ) − 及右极限 0 f x( ) + 都存在,那么 0 x 称为函数 f x( ) 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 三、(每小题 5 分,满分 25 分.) (1)【解析】此题考查重要极限： 1 lim(1 ) . x x e →∞ x + = (1 ) lim( ) lim (1 ) x x x x x a x a x x a a x →∞ →∞ + + = − − ( ) (1 ) lim (1 ) x a a x x a a a x a x ⋅ →∞ ⋅ − − + = − 2 9 a a a e e e− = = = , 得 2 ln 9 a = ⇒ = a ln 3 . 或由 2 2 2 2 lim( ) lim 1 xa x a axa x a x x x a a e xa xa − ⋅ ⋅ − →∞ →∞ + =+ = − − , 同理可得a = ln 3. (2)【解析】方程两边求微分,得 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq8109586342dy-dx=ln(x-y)-d(x-y)+(x-y)-dln(x-y)dx-dy=(dx-dy)In(x- y)+(x- y)x-y2 +In(x- dx.整理得dy:3+ In(x- y)u'v-uv(3）【解析】对分式求导数，有公式，所以V-2x2(3x2 - 1)(1+x)3(1+x2)2111令y"=0得xy"在此变号，即是x<时，"<0,x>时，y">0V3V3V3故拐点为（V3'4【相关知识点】1.拐点的定义：设函数f(x)在点x。的某一邻域连续，函数f(x)的图形在点x处的左右侧凹凸性相反，则称(xof(x)为曲线f(x)的拐点2.拐点判别定理：(1)设函数f(x)在(x-9,x+)连续，在去心邻域(x-,x+)1(),就是区间(-8,x+)内不包括点x二阶可导，且"(x)x-x）在0x-x<8上不变号，则(xo,f(x))为拐点.(2)设函数f(x)在(x-8,x+)二阶可导，f"(x)=0,又f"(x)±0,则(xo,f(x))为拐点本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了dx1-d(1-x)有(4）【解析】由(1- x)2(1-x)2(1- x)Inx）分部法inx)dnxd1-xlnx+In|1-x/+C,C为任意常数.1- x注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起更繁杂的计更多考研资料分享+qq810958634
2dy dx − = −⋅ −+−⋅ − ln( ) ( ) ( ) ln( ) x y dx y x y d x y ( )ln( ) ( ) dx dy dx dy x y x y x y − = − −+− − , 整理得 2 ln( ) 3 ln( ) x y dy dx x y + − = + − . (3)【解析】对分式求导数,有公式 2 u u v uv v v ′ ′ ′ − = ,所以 2 2 2 2 3 2 2(3 1) , (1 ) (1 ) x x y y x x − − ′ = ′′ = + + , 令 y′′ = 0 得 1 3 x = , y′′ 在此变号,即是 1 3 x < 时, y′′ < 0; 1 3 x > 时, y′′ > 0; 故拐点为 1 3 ( ,) 3 4 . 【相关知识点】1.拐点的定义：设函数 f x( ) 在点 0 x 的某一邻域连续,函数 f x( ) 的图形在点 0 x 处的左右侧凹凸性相反,则称 0 0 ( , ( )) x fx 为曲线 f x( ) 的拐点. 2.拐点判别定理： (1)设函数 f x( ) 在 0 0 (, ) x x − + δ δ 连续,在去心邻域( , )\ xx x 00 0 − + δ δ { },就是区间 0 0 (, ) x x − + δ δ 内不包括点 0 x 二阶可导,且 0 f xx x ′′( )( ) − 在 0 0 <− < x x δ 上不变号,则 0 0 ( , ( )) x fx 为拐点. (2)设函数 f x( ) 在 0 0 (, ) x x − + δ δ 二阶可导, 0 f x ′′( ) 0, = 又 0 f x ′′′( ) 0, ≠ 则 0 0 ( , ( )) x fx 为拐点. 本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了. (4)【解析】由 2 2 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) dx d x d xx x − − = = −− − 有 2 ln 1 ln ( ) (1 ) 1 x dx xd x x = − − ∫ ∫ ln 1 1 ( ) 1 1 x dx xx x − + − − 分部法 ∫ ln ln |1 | 1 x x x C x = + −+ − , C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634