更多考研资料分享+qq810958634X+k)=-0lim f(x)= lim(ln x -x-→0x-→0*e又因为+k) =-00lim f(x)= lim (In x-Te由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e,+oo)各有且仅有一个零点（不相同)，故方程lnx=二-，/1-cos2xdx在(0,+)有且仅有两个不同实根。["/1-cos2xdx= ]“sinxdx，因为当0≤x≤元时，sinx≥0，所以方法二：1[2 sin’ xdx = ~2]" sin xdx= ~2[-cosx], = 2/2 >0其它同方法一，七、(本大题满分11分)x+111的定义域为(-0,0)U(0,+)，将函数化简为y=【解析】函数V2x2X21621216则+2)-1),y"v=x43x3x2xxX1令y=0，得x=-2，即12=1)>0,xe(-2,0)+.x故x=-2为极小值点21-1)<0, x E (-00, -2)U(0, +00),YX令y=0得x=-3，即6+2)>0,x(-3,0)U(0,+00),为凹,YY61+2)<0,xE(-00,-3)，为凸，-X2二为函数的拐点.y"在x=-3处左右变号，所以x=-3,(-3)=-9.11又lim y= lim(-=00故x=0是函数的铅直渐近线：x-0xox1-limy= lim()=0,故y=0是函数的水平渐近线x-→00Xx填写表格如下：(-80,-2)U(0, +)单调减少区间更多考研资料分享+qq810958634
又因为 0 0 lim ( ) lim (ln ) lim ( ) lim (ln ) x x x x x fx x k e x fx x k e → → + + →+∞ →+∞ = − + = −∞ = − + = −∞ , 由连续函数的介值定理知在(0, ) e 与(, ) e +∞ 各有且仅有一个零点(不相同), 故方程 0 ln 1 cos 2 x x xdx e π =− − ∫ 在(0, ) +∞ 有且仅有两个不同实根. 方法二： 2 0 0 1 cos 2 sin xdx xdx π π − = ∫ ∫ ,因为当0 ≤ ≤x π 时, sin 0 x ≥ , 所以 [ ] 2 0 0 0 2sin 2 sin 2 cos 2 2 0 xdx xdx x π π π = =− = > ∫ ∫ . 其它同方法一. 七、(本大题满分 11 分) 【解析】函数 2 x 1 y x + = 的定义域为( ) ( ) −∞ +∞ ,0 0, ,将函数化简为 2 1 1 y , x x = + 则 32 2 43 3 2 1 1 2 6 2 16 y y ( 1), ( 2) xx x xxx x x ′ =− − = − − = + = + ′′ . 令 y′ = 0 ,得 x = −2,即 2 2 1 2 ( 1) 0, ( 2,0), 1 2 ( 1) 0, ( , 2) (0, ), y x x x y x x x ′ = − − > ∈− ′ = − − < ∈ −∞ − +∞ 故 x = −2为极小值点. 令 y′′ = 0 ,得 x = −3,即 3 3 1 6( 2) 0, ( 3,0) (0, ), 1 6( 2) 0, ( , 3) y x x x y x x x ′′ = + > ∈ − +∞ ′′ = + < ∈ −∞ − 为凹， ，为凸， y′′ 在 x = −3处左右变号,所以 2 3, ( 3) 9 x y =− − =− 为函数的拐点. 又 2 0 0 1 1 lim lim( ) , x x y → → x x = + =∞ 故 x = 0 是函数的铅直渐近线； 2 1 1 lim lim( ) 0, x x y →∞ →∞ x x = += 故 y = 0是函数的水平渐近线. 填写表格如下： 单调减少区间 ( , 2) (0, ) −∞ − +∞ 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634(-2,0)单调增加区间极值点X= -21极值J=4(-3,0)U(0, +o0)凹区间凸区间(-00,3)1拐点-3.x=0,y=0渐近线八、（本题满分10分）【解析】由题知曲线过点0,0)，得c=0,即y=ax?+bx如图所示，从x→x+dx的面积ds=ydx，所以函数yiax+lbx2? + bx)dx =3a.bx32'X0x+dx2-2aab1，即b=由题知3233当y=ax?+bx绕x轴旋转一周，则从x→x+dx的体积dV=元ydx，所以旋转体积bax3[a?xsabx*Oab,b?ax+bx)dx=元ydx=元(523523[α2 4(1-a)?a(1-a)，这是个含有α的函数，两边对α求b用a代入消去b，得V=元31527导得dv4元27(5a+1),da.5dv在该处由负变正，此点为极小值点，故体积最小，令其等于0得唯一驻点a=4'da32+S这时b=，故所求函数y=ax?+bx+cI227更多考研资料分享+qq810958634
单调增加区间 ( 2,0) − 极值点 x = −2 极值 1 4 y = − 凹区间 ( 3,0) (0, ) − +∞ 凸区间 ( , 3) −∞ − 拐点 2 ( 3, ) 9 − − 渐近线 x y = = 0, 0 八、(本题满分 10 分) 【解析】由题知曲线过点(0,0) ,得c = 0 ,即 2 y ax bx = + . 如图所示,从 x x dx → + 的面积 dS ydx = ,所以 1 1 1 2 3 2 0 0 0 1 1 ( ) 3 2 S ydx ax bx dx ax bx = = += + ∫ ∫ 3 2 a b = + , 由题知 1 323 a b + = ,即 2 2 3 a b − = . 当 2 y ax bx = + 绕 x 轴旋转一周,则从 x x dx → + 的体积 2 dV y dx = π ,所以 旋转体积 1 25 4 23 2 2 1 1 2 22 0 0 0 ( ) ( ) 5 2 3 523 a x abx b x a ab b V y dx ax bx dx ππ π π = = + = + + = ++ ∫ ∫ , b 用 a 代入消去b ,得 2 2 4(1 ) (1 ) 5 27 3 a a aa V π − − =+ + ,这是个含有 a 的函数,两边对 a 求 导得 4 ( 1) 27 5 dV a da π = + , 令其等于 0 得唯一驻点 5 4 a = − , dV da 在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小, 这时 3 2 b = ,故所求函数 2 2 5 3 4 2 y ax bx c x x = + + =− + . 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq8109586341990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.）[x= cos' t上对应于点1=≤点处的法线方程是(1)曲线[y= sin't6tan.,则y(2)设y=e-sin-xJ1-xdx=3)（4）下列两个积分的大小关系是：e-rdxrdx[1,Ix<1(5）设函数f(x)=，则函数fLf(x))=[0, 1x1'二、选择题（每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）x2()=0,其中a,b是常数,则(1）已知limax-b(x+1(A) α=1,b=l(B) α=-l,b=l(C) a=1b=-1(D) a=-1,b=-1(2)设函数f(x)在(-,+o0)上连续,则d[[F(x)dx等于((A) f(x)(B) f(x)dx(C) (x)+C(D) f'(x)dx(3）已知函数f(x)具有任意阶导数,且f(x)=[f(x)},则当n为大于2的正整数时，f(x)()的n阶导数f(n)(x)是(A) n![f(x)"+!(B) nLf(x)"+I(C) [f(x)2"(D) n![f(x)Pn(4)设f(x)是连续函数,且F(x)=[(t)dt,则F(x)等于C)更多考研资料分享+qq810958634
1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线 3 3 cos sin x t y t = = 上对应于点 6 t π = 点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿. (2) 设 1 tan 1 sin x y e x = ⋅ ,则 y′ = ＿＿＿＿＿＿. (3) 1 0 x xdx 1− = ∫ ＿＿＿＿＿＿. (4) 下列两个积分的大小关系是： 1 3 2 x e dx − − ∫− ＿＿＿＿＿＿ 1 3 2 x e dx − ∫− . (5) 设函数 1, | | 1 ( ) 0, | | 1 x f x x ≤ = > ,则函数 ffx [ ( )] = ＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把 所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知 2 lim 0 x 1 x ax b →∞ x −−= + ,其中 a b, 是常数,则 ( ) (A) a b = = 1, 1 (B) a b =− = 1, 1 (C) a b = = − 1, 1 (D) a b =− =− 1, 1 (2) 设函数 f x( ) 在(,) −∞ +∞ 上连续,则d f x dx ( ) ∫ 等于 ( ) (A) f x( ) (B) f x dx ( ) (C) fx C ( ) + (D) f x dx ′( ) (3) 已知函数 f x( ) 具有任意阶导数,且 2 f x fx ′( ) [ ( )] = ,则当n 为大于2的正整数时, f x( ) 的 n 阶导数 ( ) ( ) n f x 是 ( ) (A) 1 ![ ( )]n n fx + (B) 1 [ ( )]n nf x + (C) 2 [ ( )] n f x (D) 2 ![ ( )] n n fx (4) 设 f x( ) 是连续函数,且 ( ) () x e x F x f t dt − = ∫ ,则 F x ′( ) 等于 ( ) 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634(A) -e*f(e-")-f(x)(B) -e-*f(e-)+ f(x)(C) e-"f(e-")-f(x)(D) e"f(e-")+f(x)[f(x)x+0其中f(x)在x=0处可导，f(0)0,f(0)=0,则x=0(5)设F(x)=xF(0),x=0()是F(x)的(A）连续点(B）第一类间断点(C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定三、（每小题5分，满分25分.）(x+a)=9,求常数a.（1）已知lim(x-a(2）求由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy1(3）求曲线y:(x>0)的拐点1+xInx(4）计算x(1-x)(5）求微分方程xlnxdy+（y-lnx)dx=0满足条件yl-。=1的特解四、(本题满分9分)2在椭圆=1的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所a? b?围图形面积为最小（其中a>0.b>0）五、(本题满分9分)1元证明：当x>0，有不等式arctanx+x2六、(本题满分9分)xIntdt,其中x>0,求f(x)+f(设f(x)=1+t七、（本题满分9分）过点P(1,O)作抛物线y=√x-2的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积，八、(本题满分9分)更多考研资料分享+qq810958634
(A) ( ) () x x e fe fx − − − − (B) ( ) () x x e fe fx − − − + (C) ( ) () x x e fe fx − − − (D) ( ) () x x e fe fx − − + (5) 设 ( ) , 0 ( ) (0), 0 f x x F x x f x ≠ = = ,其中 f x( ) 在 x = 0 处可导, f f ′(0) 0, (0) 0 ≠ = ,则 x = 0 是 F x( )的 ( ) (A) 连续点 (B) 第一类间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能由此确定 三、(每小题 5 分,满分 25 分.) (1) 已知lim( ) 9 x x x a →∞ x a + = − ,求常数a . (2) 求由方程2 ( )ln( ) yx xy xy −= − − 所确定的函数 y yx = ( ) 的微分dy . (3) 求曲线 2 1 ( 0) 1 y x x = > + 的拐点. (4) 计算 2 ln (1 ) x dx − x ∫ . (5) 求微分方程 x xdy y x dx ln ( ln ) 0 +− = 满足条件 1 x e y = = 的特解. 四、(本题满分 9 分) 在椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 的第一象限部分上求一点 P ,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所 围图形面积为最小(其中 a b > > 0, 0 ). 五、(本题满分 9 分) 证明：当 x > 0 ,有不等式 1 arctan 2 x x π + > . 六、(本题满分 9 分) 设 1 ln ( ) 1 x t f x dt t = + ∫ ,其中 x > 0 ,求 1 fx f () ( ) x + . 七、(本题满分 9 分) 过点 P(1,0) 作抛物线 y x = − 2 的切线,该切线与上述抛物线及 x 轴围成一平面图形, 求此平面图形绕 x 轴旋转一周所围成旋转体的体积. 八、(本题满分 9 分) 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634求微分方程y"+4y+4y=e之通解，其中a为实数1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）1= V3(x-V)(1)【答案】y-80代入参数方程得x,y在1=处的函数值：x二=【解析】将t=688635得切点为3.88过已知点（xo,y）的法线方程为y-y=k(x-x），当函数在点(xo,y）处的导数1"处的导数.+0时，k=所以需求曲线在点1=y(xo)6由复合函数求导法则，可得3sintcostdy_dydt_dy/dx-tant,dxdtdxdt/dt-3costsint更多考研资料分享+qq810958634
求微分方程 4 4 ax y y ye ′′ ′ + += 之通解,其中a 为实数. 1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 1 3 3( 3) 8 8 y x −= − 【解析】将 6 t π = 代入参数方程得 x y, 在 6 t π = 处的函数值: 6 3 3 8 t x π = = , 6 1 ; 8 t y π = = 得切点为 3 1 ( 3, ) 8 8 . 过已知点 0 0 (, ) x y 的法线方程为 0 0 y y kx x −= − ( ) ,当函数在点 0 0 (, ) x y 处的导数 0 0 x x y = ′ ≠ 时, 0 1 ( ) k y x = ′ .所以需求曲线在点 6 t π = 处的导数. 由复合函数求导法则,可得 dy dy dt dy dx dx dt dx dt dt =⋅= 2 2 3sin cos 3cos sin t t t t = − = − tan t , 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634