更多考研资料分享+qq810958634【相关知识点】复合函数求导法则：y=(f(x))的导数y=(f(x))f(x)1dxrd lnx（2）【解析】利用不定积分的换元积分法，+Cx ln2 xInxIn x（3）【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限，lim(2 sin x+ cos x) = lim[1+(2 sin x +cos x-1)]XU2sin x+cos.x1= lim[1 +(2 sin x + cos x 1)]2sinx+cos x-1令2sinx+cosx-1=t，则当x→0时，1→0,则lim[1+ (2 sin x + cos x -1]2sinx+cosx-1 = lim[1+t]这是个比较熟悉的极限，即lim(1+t)=e.2sin x+cos.x11所以lim(2 sin x+cos x)* = eX2sinx+cosx-12cosx-sinx=2,而lim洛lim1x-→0xx-01lim 2 sin x+cos.r-1=e2所以lim(2sinx+cosx)*=e（4）【解析】这是个函数的参数方程，1dydy_1_+2t2tdxdx1+12dtd'y_d.-211+t2dt1d(1)-d(1(1dx2t4f3-dt2 (2t)2dx?-dx2tdt2tdx1+/2dt[x=Φ(t)则_【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果y=p(t)"dx$(t)（5）【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分，x(2n)d=ar(2[(2)](2m)F[1- F(2)-0]-f°xf(2x)dx(2)-fxdf(2x)(2)((2)(2)(2)(2)+(2x)d,更多考研资料分享+qq810958634
【相关知识点】复合函数求导法则： y fx =ϕ( ( ))的导数 y fx f x ′′ ′ =ϕ ( ( )) ( ) . (2)【解析】利用不定积分的换元积分法, 2 2 ln 1 ln ln ln dx d x C xx x x = =− + ∫ ∫ . (3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限, 1 1 0 0 lim(2sin cos ) lim[1 (2sin cos 1)] x x x x xx xx → → + =+ +− 1 2sin cos 1 2sin cos 1 0 lim[1 (2sin cos 1)] x x xx x x x x + − ⋅ + − → =+ +− , 令 2sin cos 1 x xt + −= ,则当 x → 0 时, t → 0 , 则 1 1 2sin cos 1 0 0 lim[1 (2sin cos 1)] lim[1 ] x x t x t x x t + − → → + +− =+ , 这是个比较熟悉的极限,即 1 0 lim(1 )t t t e → + = . 所以 0 1 2sin cos 1 lim 0 lim(2sin cos ) x x x x x x x xe → + − → + = , 而 0 0 2sin cos 1 2cos sin lim lim 2 x x 1 x x xx → → x +− − 洛 = , 所以 0 1 2sin cos 1 lim 2 0 lim(2sin cos ) x x x x x x x xe e → + − → += = . (4)【解析】这是个函数的参数方程, 2 2 1 1 1 2 2 1 dy dy dt t dx dx t t dt t + = = = + , 2 2 2 2 3 2 1 1 11 2 1 1 () () () 2 2 2 (2 ) 2 4 1 d y d d dt d t dx dx t dt t dx dt t t dx t t dt t − + = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =− + . 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ( ) ( ) x t y t φ ϕ = = ,则 ( ) ( ) dy t dx t ϕ φ ′ = ′ . (5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分, 1 1 1 1 2 22 2 0 0 0 0 1 11 (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 2 22 x f x dx x df x x f x f x dx ′′ = =⋅ − ′ ′ ′ ∫∫ ∫ 分部法 [ ] 1 0 1 1 (2) 0 (2 ) 2 = ⋅ −− f ′ ′ xf x dx ∫ 1 0 1 1 (2) (2 ) 2 2 = − f xdf x ′ ∫ ( ) 1 1 0 0 11 1 (2) (2 ) (2 ) 22 2 f xf x f x dx =− − ′ ∫ 1 0 1 11 (2) (2) (2 ) 2 22 = −+ f f f x dx ′ ∫ , 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634令t=2x，则x：t,dx-dt1f(2x)dx=f(t)dt所以,J(2)=0及[(x)dx=1代入上式,得把f(2)=T(2)=(2)-(2)+号f(2x)d1 F(2)-(2)+f(t)d11111.0-.1=0.22222三、选择题（每小题3分，满分18分.）(1）【答案】(A)【解析】函数y=xsin一只有间断点x=0.x1-，其中sin一是有界函数.当x→0*时，x为无穷小，无穷小量limy=limxsin-XxYY→和一个有界函数的乘积仍然是无穷小，所以1=0lim y=lim xsin-X-0X0x故函数没有铅直渐近线1sin-1sintxlim y= limlimt==11xtr-0Toex所以y=1为函数的水平渐近线，所以答案为（A)，【相关知识点】铅直渐近线：如函数y=f(x)在其间断点x=x处有limf(x)=o0，则x=x是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当limf(x)=a,a为常数），则y=a为函数的水平渐近线(2）【答案】(B)【解析】判定方程f(x）=0实根的个数，其实就是判定函数V=f(x）与x有几个交点即对函数图形的描绘的简单应用，令f(x)= x5 +2ax +3bx+4c,则f'(x)= 5x* +6ax2 +3b更多考研资料分享+qq810958634
令t x = 2 ,则 1 1 , 2 2 x t dx dt = = , 所以 1 2 0 0 1 (2 ) ( ) 2 f x dx f t dt = ∫ ∫ . 把 1 (2) , (2) 0 2 f f = = ′ 及 2 0 f x dx () 1 = ∫ 代入上式,得 1 1 2 0 0 1 11 (2 ) (2) (2) (2 ) 2 22 x f x dx f f f x dx ′′ = −+ ′ ∫ ∫ 2 0 1 1 11 (2) (2) ( ) 2 2 22 = − +⋅ f f ′ f t dt ∫ 1 11 11 0 10 2 22 22 = ⋅− ⋅ + ⋅ ⋅= . 三、选择题(每小题 3 分,满分 18 分.) (1)【答案】(A) 【解析】函数 1 y x sin x = 只有间断点 x = 0 . 0 0 1 lim lim sin x x y x x → → + + = ,其中 1 sin x 是有界函数.当 x 0 → + 时, x 为无穷小,无穷小量 和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以 0 0 1 lim lim sin 0 x x y x x → → + + = = , 故函数没有铅直渐近线. 0 1 sin 1 sin lim lim lim 1 x x 1 x t x y t x t x →+∞ →+∞ → + = = = , 所以 y =1为函数的水平渐近线,所以答案为(A). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数 y fx = ( ) 在其间断点 0 x x = 处有 0 lim ( ) x x f x → = ∞ ,则 0 x x = 是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当lim ( ) ,( x fx aa →∞ = 为常数）,则 y a = 为函数的水平渐近线. (2)【答案】(B) 【解析】判定方程 f x() 0 = 实根的个数,其实就是判定函数 y fx = ( ) 与 x 有几个交点, 即对函数图形的描绘的简单应用, 令 5 3 f x x ax bx c () 2 3 4 =+ + + , 则 4 2 f x x ax b ′() 5 6 3 =+ + . 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634令t=x2,则f(x)=5x*+6ax2+3b=5t+6at+3b=f(t)其判别式△=(6a)2-4.5.3b=12(3a2-5b)<0,所以f(t)=5t2+6at+3b无实根，即f(t)>0所以f(x)=x+2ax+3bx+4c在xe(-0,+o0)是严格的单调递增函数又lim f(x)= lim(x +2ax +3bx+4c)=-00lim f(x)= lim (x +2ax +3bx+4c)=+o0T所以利用连续函数的介值定理可知，在(-0,+0)内至少存在一点xE(-00,+o0)使得f(x)=0,又因为y=f(x)是严格的单调函数，故x是唯一的故f(x)=0有唯一实根，应选(B)。(3）【答案】(C)-≤x)的图像，则当y=cosx绕x轴旋转一周，在x处取【解析】如图y=cosx(-22微增dx，则微柱体的体积dV=元cosxdx，所以体积V有y+V=[3[元cosxdxadx=cos2+ld=cos2xd2x+"信dx24J2J-7[-sin2x+号[=0+（+)-222222因此选(C).(4）【答案】(D)【解析】题中给出的条件中，除了一处极值点外均未指明函数其它性质，为了判定的方便，可以举出反例而排除。若取f(x)=g(x)=-(x-a),两者都在x=α处取得极大值0，而F(x)=f(x)g(x)=(x-a)在x=a处取得极小值，所以(A)、(C)都不正确若取f(x)=g(x)=1-(x-a),两者都在x=a处取得极大值1，而F(x)=f(x)g(x)=[1-(x-a)在x=a处取得极大值1,所以(B)也不正确，从而选(D)。更多考研资料分享+qq810958634
令 2 t x = ,则 42 2 f x x ax b t at b f t ′ ′ ( ) 5 6 3 5 6 3 () = + += + += , 其判别式 2 2 ∆= − ⋅ ⋅ = − < (6 ) 4 5 3 12(3 5 ) 0 a b ab , 所以 2 f t t at b ′() 5 6 3 =++ 无实根,即 f t ′() 0 > . 所以 5 3 f x x ax bx c () 2 3 4 =+ + + 在 x∈ −∞ +∞ (,) 是严格的单调递增函数. 又 5 3 lim ( ) lim ( 2 3 4 ) x x f x x ax bx c →−∞ →−∞ = + + + = −∞ 5 3 lim ( ) lim ( 2 3 4 ) x x f x x ax bx c →+∞ →+∞ = + + + = +∞ 所以利用连续函数的介值定理可知,在 (,) −∞ +∞ 内至少存在一点 0 x ∈ −∞ +∞ (,) 使得 0 f x()0 = ,又因为 y fx = ( ) 是严格的单调函数,故 0 x 是唯一的. 故 f x() 0 = 有唯一实根,应选(B). (3)【答案】(C) 【解析】如图 cos ( ) 2 2 yx x π π = − ≤≤ 的图像,则当 y x = cos 绕 x 轴旋转一周,在 x 处取 微增dx ,则微柱体的体积 2 dV xdx = π cos ,所以体积V 有 2 2 2 V cos xdx π π π − = ∫ 2 22 2 22 cos 2 1 cos 2 2 24 2 x dx xd x dx π ππ π ππ π π π − −− + = = + ∫ ∫∫ [ ] [ ] 2 2 2 2 2 sin 2 0 ( ) 4 2 2 2 2 2 x x π π π π π π ππ π π − − = − + =+ + = . 因此选(C). (4)【答案】(D) 【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便, 可以举出反例而排除. 若取 2 f x gx x a () () ( ) = =− − ,两者都在 x a = 处取得极大值 0, 而 4 Fx f xgx x a () ()() ( ) = = − 在 x a = 处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确. 若取 2 f x gx x a () () 1 ( ) = =− − ,两者都在 x a = 处取得极大值 1, 而 2 2 Fx f xgx x a () ()() 1 ( ) = =−− 在 x a = 处取得极大值 1,所以(B)也不正确,从而选(D). 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634(5)【答案】(B)【解析】微分方程y"-y=e+1所对应的齐次微分方程的特征方程为r2-1=0，它的两个根是r=1,5=-1.而形如y"-y=e"必有特解Y=x·ae"；y"-y=l必有特解Y=b由叠加得原方程必有特解Y=x·ae+b，应选(B).(6）【答案】(D)【解析】利用导数的概念判定f(x）在x=α处可导的充分条件f(a+t)-f(a)存在，所以只能保证函数在x=α右导数存在；(A)等价于limt→0(B)、(C)显然是f(x)在x=a处可导的必要条件，而非充分条件，1x￥0COS如在x=0处不连续，因而不可导，但是x0,x=011I1cos(O+cOs(OcOs-COSf(a+h)-f(a-h)hhhh=0,limlim=lim2h2h2hh-→0h-0-11-COS(OcOS(cOSCOSf(a+2h)-f(a+h)2h2h2h2h=0均存在；lim=lim=limhhh→0h-→>0hh→0(D)是充分的：f(a +△x)- f(a) Ar=-f(a)-f(a-h)(a)-f(a-h) 存在,存在→f(a)=limlimlim140hAr→0Axh→(应选(D).四、(本题满分6分)【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程，先写成标准形式112y'+(-Dy:xdx+C)(e +C)通解为Jx+exx代入初始条件y(1)=0，得C=-e，所求解为-e)x【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为y+p(x)y=g(x),其通解公式为更多考研资料分享+qq810958634
(5)【答案】(B) 【解析】微分方程 1 x y ye ′′ −= + 所对应的齐次微分方程的特征方程为 2 r − =1 0 ,它的两 个根是 1 2 r r = = − 1, 1. 而形如 x y ye ′′ − = 必有特解 1 x Y x ae = ⋅ ； y y ′′ − =1必有特解Y b 1 = . 由叠加得原方程必有特解 x Y x ae b =⋅ + ,应选(B). (6)【答案】(D) 【解析】利用导数的概念判定 f x( ) 在 x a = 处可导的充分条件. (A)等价于 0 ( ) () limt fa t fa → + t + − 存在,所以只能保证函数在 x a = 右导数存在； (B)、(C)显然是 f x( ) 在 x a = 处可导的必要条件,而非充分条件, 如 1 cos , 0 0, 0 x y x x ≠ = = 在 x = 0 处不连续,因而不可导,但是 00 0 1 1 11 cos(0 ) cos(0 ) cos cos ( )( ) lim lim lim 0 hh h 2 22 fa h fa h h h hh →→ → h hh +− − − +− − = = = , 00 0 1 1 11 cos( ) cos(0 ) cos cos ( 2) ( ) 2 2 22 lim lim lim 0 hh h fa h fa h h h hh →→ → h hh −− − +− + = = = 均存在； (D)是充分的： 0 0 ( ) () () ( ) lim lim x h x h fa x fa fa fa h x h ∆ =− ∆ → → +∆ − − − = ∆ 存在 0 () ( ) ( ) limh fa fa h f a → h − − ⇒ = ′ 存在, 应选(D). 四、(本题满分 6 分) 【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式 1 1 2 ( 1) x y ye x x ′ +− = , 通解为 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 ( ) dx dx x x x y e e e dx C x − − − ∫ ∫ = + ∫ 1 1 2 ( )( ) x x x x x x e e e dx C e C x xe x = + = + ∫ . 代入初始条件 y(1) 0 = ,得C e = − ,所求解为 ( ) x e x y ee x = − . 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为 y pxy qx ′ + = () () ,其通解公式为 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634y=e- pa)(Jq(x)e (a)dx+C),其中C 为常数.五、(本题满分7分)【解析】先将原式进行等价变换，再求导，试着发现其中的规律，f(x)= sin x-J (x-t)f(t)dt = sinx-xf。 f(t)dt+ "f()dt所给方程是含有未知函数及其积分的方程，两边求导，得f(x)=cosx-Jf(t)dt -xf(x)+xf(x)=cos x-f.f(t)dt再求导，得f"(x)=-sinx-f(x),即f"(x)+f(x)=-sinx,这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，对应的齐次方程的特征方程为r2+1=0此特征方程的根为r=±i，而右边的sinx可看作easinβx，α=0,β=l,α±iβ=±i为特征根，因此非齐次方程有特解Y=xasinx+xbcosx代入方程并比较系数,得α=0,b=一,，故Y=X-cosx，所以22f(x)=G, cosx+C, sinx+三ccos.xP1X印又因为f(0)=0,f(0)=1,所以c=0,c,f(x):sinx+cosx22六、(本题满分7分)【解析】方法一：判定方程f(x)=0等价于判定函数y=f(x）与x的交点个数f(x)=lnx-+令"1-cos2xdx,2其中。V1-cos2xdx是定积分,为常数，且被积函数1-cos2x在(0,元)非负，故+k[。V1-cos2xdx>0,为简化计算，令。V1-cos2xdx=k>0,即f(x)=lnx-e则其导数F(x)=1_1,1,令f(x)=0解得唯一驻点x=e,Xef'(x)>0,0<x<e即Uf'(x)<0,e<x<+00E+k=k>0.所以，x=e是最大点，最大值为f(e)=lne-e更多考研资料分享+qq810958634
( ) ( ) ( () ) p x dx p x dx y e q x e dx C −∫ ∫ = + ∫ ,其中C 为常数. 五、(本题满分 7 分) 【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 0 0 0 ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) x x x f x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =−− =− + ∫ ∫∫ , 所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得 0 0 ( ) cos ( ) ( ) ( ) cos ( ) x x f x x f t dt xf x xf x x f t dt ′ =− − + =− ∫ ∫ , 再求导,得 f x x fx ′′( ) sin ( ) =− − ,即 f x fx x ′′( ) ( ) sin + =− , 这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为 2 r + =1 0 , 此特征方程的根为r i = ± ,而右边的sin x 可看作 sin x e x α β ,α β αβ = = ± =± 0, 1, i i 为特 征根,因此非齐次方程有特解Y xa x xb x = + sin cos . 代入方程并比较系数,得 1 0, 2 a b = = ,故 cos 2 x Y x = ,所以 1 2 ( ) cos sin cos 2 x fx c x c x x =++ . 又因为 f f (0) 0, (0) 1 = = ′ ,所以 1 2 1 0, 2 c c = = ,即 1 ( ) sin cos 2 2 x fx x x = + . 六、(本题满分 7 分) 【解析】方法一：判定方程 f x() 0 = 等价于判定函数 y fx = ( ) 与 x 的交点个数. 令 0 ( ) ln 1 cos 2 x f x x xdx e π = −+ − ∫ , 其中 0 1 cos 2xdx π − ∫ 是定积分,为常数,且被积函数1 cos 2 − x 在(0, ) π 非负,故 0 1 cos 2 0 xdx π − > ∫ ,为简化计算,令 0 1 cos 2 0 xdx k π − => ∫ ,即 ( ) ln x fx x k e = −+ , 则其导数 1 1 f x( ) x e ′ = − ,令 f x ′() 0 = 解得唯一驻点 x e = , 即 ( ) 0,0 ( ) 0, fx x e fx e x ′ > << ′ < < < +∞ , 所以, x e = 是最大点,最大值为 ( ) ln 0 e fe e k k e = −+=> . 更多考研资料分享+qq810958634 更多考研资料分享+qq810958634