几何本节我们将着重介绍非欧几何。这种几何的建立是十九世纪的数学中在本质上最深刻的同时在技术上最简单的进展。它的发展与微分儿何有关。最终非欧儿何被解释为在射影空间中通过所谓“绝对形”引入度量的结果，而欧几里德几何是非欧几何的特殊情形（退化情形）。1：历史回顾.非欧几何与欧几里德几何本质上的不同之处在于平行公设。自公元前300年到1800年间，人们始终认为欧几里德几何是物理空间的正确的理想化。大量的人花了很多精力致力于说明欧几里德的第5公设的正确性。托勒枚证明了第5公设，但他不自觉地用到了“两条直线不能包围整个平面”以及“平行线被一直线所截所得到的两侧的内角具有同样的性质”。纳西尔－爱丁（Nasir-Eddin)(1201-1247）是欧几里德几何的波斯文编写者，他证明第5公设所用到的假设是：如果两条直线不平行，则由其中一条直线的点向另一条直线所作的垂线将随着点的远离可以超过任何长度（事实上5世纪的普洛克努斯(Proclus）给出过类似的证明）。沃利斯在1663年研究了纳西尔－爱丁的证明，用“对于任意三角形，存在边长任意大的与之相似的三角形”代替纳西尔－爱丁的假设，证明了第5公设。1769年约瑟夫－芬（JosephFenn）提出了第5公设的最简单的替代物，即“两条相交直线不能同时平行于第三条直线”（普洛克努斯在对于欧几里德的《几何原本》的注释中曾说过这句话）。1795年普莱费尔（Playfair)(1748-1819)给出了现在教科书中所用的平行公设，即“通过不再直线1上的一点P，在P与1的平面上，只有一条直线不与1相交”。勒让德在大约20年的时间里研究过平行公设。他用到过的假设有“存在不同大小的相似三角形”、“过不共线的三点可以作一个圆”、“过60°角的内任一点可以作一条直线与角的两边相交”等等。但他发现这些假设都依赖于平行公设。他得到了一些不依赖于平行公设的结果，例如只要有一个三角形的内角和等于直角的二倍，则所有的三角形皆如此。萨凯里（Saccheri)(1667-1733）研究的路线是考而相邻内角都是直角的对角线相等的四边形，它证明了该四边形的其余两个内角必然相等，并且证明了它们不能是钝角，但无法证明它们不是锐角，只是在锐角的假设下得出了若干看起来不合情理的结论。寻求可以接受的公理来代替第5公设或由欧几里德的其他公理（公设）来证明第5公设的人数是如此之多而又如此徒劳无功，以至于达朗贝尔在1795年把平行公理问题称为“几何原理中的家丑”。1763年克吕格尔（Kligel)(1739-1812）首次提出：人们接受欧几里德的平行公理的的正确性是基于经验。他怀疑平行公理能够被证明。兰伯特（Lambert)(1728-1777）在克吕格尔的影响下研究平行公理，在1766年写了《论平行线》一书（1786出版）。他证明了萨凯里考虑的钝角的情形得出的定理在球面儿何中成立，于是他猜想锐角的假设下得到的定理应当适用于虚半径的球面。施魏卡特（Schweikart)（170-1859）是一个法学教授，业余研究数学。他在1818年将1816年写的一份备忘录送给高斯征求意见。在备忘录中他提出有两类几何，即欧几里德几何和三角形三内角和不是两倍直角的何，他称后者为“星空几何”，因为这种几何可能在星空中成立。他的外甥陶里努斯（Taurinus)(1794-1874）继续研究星空几何，他证明了虚半径球面上成立的公式恰好就是在星空几何中所成立的。克吕格尔和兰佰特最早认识到非欧儿何存在，而关于这种儿何异于欧儿里德儿何的的技术性推导的最大功绩应当归功于萨凯里。但是非欧几何所面临的最大的问题，即它是否像欧几里德几何一样可以描述物质空间，则是高斯首先获得了正确的观念。高斯并没有发表过有1
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关非欧几何的专门论著，他的观点出现在于若干朋友的通信中。他担心这方面的研究成果会被人耻笑，正如1829年1月27日给贝塞尔的信中所说的：他怕波奥提（Boeoti）（希腊的一个愚笨部落）人的噻嚏（影射反对者）。高斯在微分几何的曲面研究中脱离空间的坐标，而用曲面自身的不变量来决定曲面，从而得到内涵的曲面上的几何。用曲面的测地线来代替欧几里德几何中的直线，得到的就是非欧几何（只要有非0的常曲率）。黎曼将高斯的想法推广到几维空间，更重要的是他不再把空间作为一个整体，而是局部地考察其儿何性质。罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）(1793-1856）、同时还有波尔约（Bolyai）（1802-1860）和高斯关于非欧几何工作本质上相同。多数人认为罗巴切夫斯基和波尔约都受到过高斯的影响，他们二人的理论非常相似。罗巴切夫斯基的几何最容易用初等的语言叙述，2.罗巴切夫斯基几何.罗巴切夫斯基在1826年曾提出他的几何基础的观点，但该文稿已经丢失。1829-1855期间他发表了一系列关于他的几何的论文和专著。设AB为给定的一条直线，C为一个点，C到AB的垂线长为。定义平行角元(）满足(α)=e-".tg2在C处以C到AB的垂线为边向两侧作大小为π（α）的角。这两个角的（非垂线）的两条边（所在的直线）就是与AB相交或不相交的直线的分界线，即在平行角之内的直线都与AB相交，其它的直线（包括平行角的边）都与AB不相交（即平行）。所以在罗巴切夫斯基何中过直线外一点有无数多条直线与该直线平行。他证明了在他的何中平面三角形满足以下的基本公式：设A，B，C为欧几里德几何意义下的直角三角形的三个顶点，其对边分别为a,b,c，则有ctgr(a) = ctgr(c) sin A,sin A = cos B sin π(b),sin π(c) = sin π(a) sin π(b)值得注意的是：如果边长都是虚数，则这些公式在普通的球面三角中都成立。在普通的球面三角中，三个角分别为A,B,C的三角形的面积是r（A+B十C一T），而在罗巴切夫斯基几何中这样的三角形的面积则是r2（元一（A十B十C)），也就是用ir代替球面三角中的r。他又推导出曲线y=f(α）上的点αy）处的弧微分ds =由此可以算出半径为r的圆的周长为π(e"—e-r），并证明圆面积为π(e—e-)2罗巴切夫斯基和波尔约的工作在后来的30年中被人们所忽视，直到高斯关于非欧几何的通信和注记在他1855年去世之后被出版，人们才注意这个课题。一个重要的问题是：罗巴切夫斯基几何的公理系统是否相容。由于这种几何对于虚半径球面成立，而实半径球面几何是欧儿里德几何第一部分，所以高斯、波尔约和罗巴切夫斯2
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猜导早夫这些公像U早物版随但这称离一种夫仰C早物版问题离4丑莱后解寻努C庞卡莱边1注莱科存普定球成夫超猜几沃边圆或努实现：出两三努问至离与圆周洛交努圆弧随两三P,Q努距无由出它临努“问至”与圆弧努交三Pa,P,与P,Q之垂努弦努比所求义随即d(P1,P2和=1等(PP/P2P和PPa/P2P和随两条问至努夹角题离瑟格努角另一凯问题离定球成夫超猜儿沃离否仅仅离异学家努一种游戏C定球成夫超猜边究较早努努一篇论文芬曾经只明究努几沃1可能距无大Tm功球问径努丑万倍努星际P察芬即验证C1注莱弗贝把（A期A期rm施和究给现普爱因超坦p程努一凯解随这凯解意味着宇宙随甥垂膨胀C该相固求努甥垂现努度合科存定球成夫超猜作垂C狭义早该论芬努速度作垂题离一凯定球成夫超猜作垂此外随定球成夫超猜儿沃已即成功功运若相猜本粒子努碰撞及核子研F努响究问题C该相异学本看随定球成夫超猜本人若将究努几沃若相异学并析随实受普大T汪丑凯求积并努值C1屑注莱庞卡莱将定球成夫超猜几沃若相干守函异C高正和黎念。并没有何发过拉早就知道用两个参数表示曲面上的点（即曲面可以写成参数方程=a(u,u)，y=y(u,u)，z=z(u,u)的样子).高斯从这个方程出发对于曲面作了系统的研究。由于da = adu +a'du, dy =bdu+ b'du, dz = cdu +c'du,其中a,a,b,b,c,c为,y,对于,的偏导函数，又有孤长s的微分ds2=dr2+dy2+dz2，所以ds2= Edu?+2Fdudu+Gdu2其中E = a2+2 +c2 F = aa'+ bb+ cc, G = α2 +b2 +c2都是u,的函数。高斯又对于曲面上的一点（u,u）处由du：du和du：du'给出的两个方向之间的夹角θ得到Edudu'+ F(dudu' +du'du) +GdudycOS=VEdu2+2Fdudu+Gdu2VEdu2+2Fdu'dy+Gdy2高斯又定义了曲面的（总）曲率K，并得到计算公式1((FE18G)(2F1EFE)K =2H(au(EHOuHu)uHaEHu)其中H=VEG-F2。他注意到一个至关重要的事实，即曲面上的距离和角度只依赖于E，F,G。高斯在1827年的文章中寻找曲面的测地线.测地线满足u关于U的二阶微分方程，其系数都是E，F，G的函数。他还证明了以测地线为边的曲面上的三角形上曲率的积分等于三个角之和减去Tπ（即180°）-这是一个极其精美的定理，高斯之前的曲面总是作为三维过儿里德空间中的图形，即用过儿里德度量来研究。但是高斯证明了曲面可以脱离三维过儿里德空间而从自身出发进行研究，曲面的所有度量性质完全被ds2中的（u,U的）三个二元函数E,F,G所确定.如果将曲面作为一个二维空间，3
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以测地线作为直线，则得到的几何通常都是非欧几何，除非该曲面的的曲率是常曲率0进一步说，即使对于同一个曲面图形，不同的E，F，G的选取也会得到不同的几何。例如罗巴切夫斯基儿何中1-dr2ds2 = dy? +sin(α)就规定了平面上的一种非欧几何（其中（，9）是平面直角坐标系中点的坐标，元（）=2arctge-），其总曲率是负的常数。高斯为黎曼指定的格丁根大学教授资格演说的内容是儿何基础。黎曼的演说在1868年发表，题目为《关于作为几何学基础的假设》。黎曼不仅把高斯的内蕴几何学从二维推广到几维，而且采用现代的微分几何的观念，即局部地研究几何（因为他感到对于一般的空间无法作整体研究）。对于一个几维流形，他假定距离的平方为nnds2=gidridej,i=l j=1其中9i是坐标i，2,，n的函数，9i=9i，并且ds2对于所有的坐标取值都大于0。然后他定义流形上一条路径的长度为ds沿此路径的积分，两点之间的测地线为连接此两点的路径的长度的变分为0的路径（于是两点之间的测地线不一定唯一，例如球面上的对径点，基至圆柱面上的任意两个连线不垂直于母线的点，它们之间的测地线有无穷多条）测地线的方程满足n个（坐标函数关于8的）二阶常微分方程组成的方程组。黎曼又定义了几维流形的曲率，这是高斯关于曲面的总曲率的推广。黎曼还研究了几维流形在一点处的三维子流形的曲率之间的关系。黎曼要求流形的曲率不能取负值（这和爱因斯坦所用的几何不同）。他证明了一个流形是欧儿重德空间当且仅当其曲率为0。4.度量化的射影空间．在黎曼之后很多人研究常曲率空间究竟有哪些可能。对于负的常曲率曲面，贝尔特拉米（Beltrami)（1835-1900）没有依赖黎曼的工作，独自将罗巴切夫斯基几何在三维欧单德空间中部分地表出。将电物线（即从其上一点作切线与一条给定的直线相交，此交点到切点线段长为定值的曲线。若定直线取为z轴，则电物线在-z平面上的方程为≥=klog+V-=Vk2-，k为该曲线与轴交点到原点的距离）绕z轴旋转，在此旋转面（其曲率为一1/K2）上可以实现罗巴切夫斯基平面的一部分（将罗巴切夫斯基平面上的直线（测地线）对应到旋转面上的测地线）。但是无法将整个罗巴切夫斯基平面都对应到电物线的旋转面上。后来希尔伯特证明了这种不可能性。而对于质的常曲率曲面，空间曼（，iemann)（1874-1939）证明了这种曲面在三维欧几里德空间中只能是球面。在平面上实现非欧几何是高将欧几里德平面斯宽到射影平面。这方面的得了正是拉盖尔和的观（Ca础e础（1821-1895），而但观因该后完成了全部工作。射影几何出现于文文已经时代，其丢失是研究期画时不同系列的设失之间的关系。AB格（条esargCes）（1591-1661）对于射影几何作了该重要的长基性工作。们首平介行的观角方法π在后面足g拉盖尔角一（作为凯处和以处因向作角侧大/角交或界凯处角向作即拉盖平行之角它
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凯莱在射影平面上任意取定一个二次曲线，称之为“绝对形”，其方程为3F(r, a) = aijritj = 0,aj=aji,i,j=1对应的双线型为3Eaijriyi,F(r,y) =ai = aji.ij=1令3E Ajuuj = 0,G(u, u) =ij=1其中Ai为ai的代数余子式(即G(u,u）=0为绝对形的线方程).对于点=（1,2,3)和y=（31,2,33)，凯莱定义这两点之间的距离为F(r,y)8=arccos(F(r, r)F(y,y)定义坐标为u=（ui,2,u3）和=（ui,U2,U3）的两条直线之间的夹角Φ满足G(u,u)cos @=arccos(G(u, u)G(v,v)凯莱证明了：若取绝对形为22十y?=0，则角度的公式将成为普通的欧几里德几何中的公式，而这正是拉盖尔当初为了用射影概念给出欧儿里德平面几何的度量性质时得到的结果。凯莱又将他的理论推广到三维的情形。克莱因接受了凯莱的思想。但是他认为凯莱对于射影坐标的本质没有弄清楚。克莱因的工作体现了他对于几何学本质的认识（即1872年提出的所谓“爱尔兰根纲领”（ErlangenProgram)）。我们用二维的情形来说明克莱因的作法。在射影平面上无法用通常的欧几里德几何中的方法来定义两点之间的距离和二直线的夹角，因为这些定义依赖于点的坐标，从而使得定义出来的量不确定。但是射影几何中保留着一个基本的不变量，就是交比。对于同一直线上的四个点A,B,C,D，用C和D分别作为线段AB的分点，得到的两个比的比值就成为交比，记为（AB,CD），即AC/AD(AB,CD)CB/DB或者用点的坐标来写，设&=（c1，2,3）为点X的一个齐次坐标（X取A,B,C,D相应地和i(i=1,2,3)分别取a,b,c,d和a,bi,Ci,d)。如果c=入ia+入2b,d=μa+μ2b，其中入，满足+2=1，μ+μ2=1,则(AB,CD) =μ 14225
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