△ a da k=lim k= lim △s→>0 A>0△s|ds 称为曲线y=f(x)在点M处的曲率 又是平均值+极限的方法
s s k k s s d d lim lim 0 0 = = = → → 称为曲线 y = f (x) 在点M 处的曲率. 又是平均值 + 极限的方法
例1求半径为R的圆上任意一点处的曲率 解 如图所示,在圆上任取一点M,则 A=‖MM‖=R.△a △c △a1 故lim Im R As→0△sAs->0R·△aR M 即圆上点的曲率处处相同 C k R 半径越小的圆弯曲得越厉害
例1 解 求半径为R 的圆上任意一点处的曲率 . M M 如图所示, 在圆上任取一点 M , 则 R s =|| MM || ︵ = R 故 = s→ s 0 lim 即圆上点的曲率处处相同： R k 1 = 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害. s R R 1 lim 0 = → O
、曲率的计算公式 设曲线方程为y=f(x),f(x)二阶可 则在曲线上点M(x2y)处的曲率为 k
设曲线方程为 y = f (x) , f (x) 二阶可导 , 则在曲线上点 M (x, y) 处的曲率为 (1 ) 2 3 2 y y k + = 二、曲率的计算公式
证‖如图所示,曲线在 点M处切线的斜率为 y=f(x) y=tana M 故O= arctan y da y dx 1+y dx 1+y 又ds 1+y X C 从而k d-1+y /2ar ds(1+y2)
O x y M M y = f (x) 证 如图所示, 曲线在 点M 处切线的斜率为 y = tan 故 = arctan y x y x y d d 1 1 d d 2 + = 2 1 y y + = 又 d s 1 y d x 2 = + 从而 d (1 ) d 2 3 2 y y s k + = = x y y d 1 d 2 + =