5洛书释数事实上，这是一个三行三列的数字方阵，它的每行、每列和两条对角线上三个数字之和都相等。请大家想一想：给出1，2，3，…，9这9个数字，怎样排出一个三行、三列的数字方阵，满足上述条件呢？南宋数学家杨辉概括了本题的解答方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”画出图来就十分清楚了。九子斜排四维挺出上下对易左右相更914.9244255S88911四角上的元素4，2，8，6从原来的位置上向四个角的方向挺出，拉成一个方阵，这样就从一个龟形“戴9履1，左3右7，2、4为肩，6、8为足”变成一个正方形的方阵了。北周甄鸾注《数术记遗》时，把洛书方阵称为“九宫”，将9个数字定位在图中9个位置，以此为基础创造一种算具，叫“九宫算”，作为算筹计算的工具，现在已经不用了。数学家杨辉和他的纵横图杨辉是我国古代著名的数学家和数学教育家。南宋（公元13世纪）钱塘（今杭州）人，曾任过地方行政官员。他深入实际，廉政爱民，不仅研习了古代算书，还广泛搜集流传在民间的诸多算法和典型问题，进行详解细演，比类分析，有极高的教育价值。人们称赞他“以廉伤（chi，告诫）已，以儒饰（shi整治）吏，吐胸中之灵机，续前贤之奥旨，从奇而偶，由17
好玩的数学1中国古算解趣嗨而彰”（永嘉陈几先《日用算法》跋）。一生著作甚多，但散失严重。现存有：《详解九章算法》（1261年）、《详解算法》(1262年）、《乘除算法通宝》（1274年）、《续古算法摘奇》（1275年）、《田亩比类乘除捷法》（1275年）等。杨辉对“九宫图”进行了深入的研究，并把它命名为《纵横图》，从三阶推广到高阶，取得了一系列重要的成果。现在人们习惯地把纵横图称为幻方。所谓n阶幻方，就是把1至n2个自然数排成n行、n列的方阵，使它的每行、每列和每条对角线上数的和都相等。九宫图就是一个三阶幻方，杨辉给出了编制的方法。对于四阶幻方可以沿三阶的思路，也不难构造。转正放平方阵斜排上下对易左右相更1616-951645,~2571114711213<101071313<1017<715610314114128131152151516注意：中间虚线构成的小正方形，也进行上下对易和左右相更的变换，求其平衡，使各行各列和主对角线各数字之和相等。对于n=5的情况，可以拓宽思路，用类似的方法构造5阶幻方。各子斜排以后，确定核心正方形11，3，15，23，形外的上、下、左、右四块，通过对易和相更，整体移入形内，就得到一个五阶幻方。当然，研究问题的路子是多种多样的，同学们可以充分发挥自己的创造力，“八仙过海，各显神通”。18
5洛书释数方阵斜排确定核心11131612162113917212218141023191542420C25上下对易左右相更n7201124720324@12?80?@1225842D?117 0 13 0 9 (20)117 ③13 @ 9 1(S)@k18 0 14 0i@②@ 18 1 14 @0[23@19@152361921524(20)25小小的数字方块，却蕴含着巨大的魔力，成为人类智力磨炼的宽阔操场，吸引了世界上众多的数学家、数学爱好者，甚至幼儿园的娃娃们不断地研究、发掘、创新、应用。直至今天，还充满着青春的活力。杨辉在他的《续古算法摘奇》里列举了5一10阶的纵横图（图5-1），还编拟了多幅其他形式的连环图，他的详解细算激发了明清两代数学家的灵机，程大位、张潮、保其寿等都编造了不少新形式的纵横图和连环图，选编几幅供大家研究。19
好玩的数学中国古算解趣02X3（1）张潮操四图（2）张潮百子图1724(3)保其寿立体纵横图(4)杨辉聚六图00311228-0025(6)美国开国元勋B.富兰克林的幻圆(5)杨辉聚九图图 5-120
5洛书释数图5-1(6)中：①八个同心圆上八个数（连同中心数）的和是360。②八条半径上九个数的和都是360。③相邻四格（不论在什么位置）中元素和连同中心数之半都是180。练习题读读练练请你再排一个四阶幻方和五阶幻方（取数12～75）。21