x-v 2证明：f=2+y x2+y2≠0 x2+y2=0 在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微 提示：利用2xy≤x2+y2,知 1/x川s（x2+y2)为 limf(x,y)=0=f(0,0) x>0 ->0 故f在(0,0)连续 又因f(x,0)=f(0,y)=0,所以f(0,0)=f(0,0)=0 HIGH EDUCATION PRESS O◆0C⊙8 机动目录上页下页返回结束
+ = + + = 0 , 0 , 0 ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 提示: 利用 2 , 2 2 xy x + y 2 1 2 2 ( ) 4 1 f (x, y) x + y lim ( , ) 0 (0, 0) 0 0 f x y f y x = = → → 故f 在 (0,0) 连续; 又因 f (x,0) = f (0, y) = 0, (0,0) = (0,0) = 0 x y 所以 f f 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
而Ay@0= (△x)2(△y)2 【4x)2+(yy13 当△x→0，△y→0时， △f0.0) (△x)2(△2 V(△x)2+(△)2[（△x)2+(△y)2]2 0 所以f在点(0,0)不可微！ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
而 f (0,0) = 当x → 0，y → 0时, 2 2 (0,0) ( x) ( y) f + 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + = 0 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 2 3 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.已知f(x+y,x-y)=x2-y2+0(x+y),且 f(x,0)=x,求出f(x,y的表达式 解法1令4=x+y,v=x-y,则 x=(u+v),y=(u-v) f(u,)=(u+v2-4(u-2+p()=v+p(） 即 f(x,y)=xy+o(x) f(x,0)=x,.p(x)=x f(x,y)=x(y+1) 解法2.f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y)+0(x+y) ∴.f(x,)=xy+p(x)以下与解法1相同 HIGH EDUCATION PRESS O◆00⊙8 机动目录上页下页返回结束
例1. 已知 求出 f (x, y) 的表达式. 解法1 令 f (u,v) 即 f (x, 0) = x, f (x, y) = x (y +1) 解法2 f (x + y, x − y) = (x + y)(x − y) + (x + y) 以下与解法1 相同. ( , ) ( ), 2 2 f x + y x − y = x − y + x + y f (x，0) = x, 则 (x) = x 且 v = x − y , ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 4 1 = u + v − u − v + u 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、多无函数微分法 显示结构 1.分析复合结构 隐式结构 (画变量关系图) 自变量个数=变量总个数-方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2.正确使用求导法则 “分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3.利用一阶微分形式不变性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束
二、多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构 (画变量关系图) 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束