Sin 例7求Iim x→0 sIna 0 解这个问题是属于。型未定式,但分子分母分别 0 2x sin --cOS 求导后得 cOSX 此式振荡无极限,故洛必达法则失效,不能使用 但原极限是存在的,可用下法求得 x SIn sIn m x=lim 0 x→>0sinx x→>0Sinx 前页后页结束
前页 后页 结束 例7 求 x x x x sin 1 sin lim 2 →0 解 这个问题是属于 0 0 型未定式， 2 0 0 1 1 sin sin lim lim 0 x x sin sin 1 x x x x x x x → → = = 但分子分母分别 1 1 2 sin cos cos x x x x − 求导后得 此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。 但原极限是存在的，可用下法求得
3.其它型不定式 未定式除和一型外,还有 0·∞型 co-00 型、 0 型 oO 型 型、 等五种类型 前页后页结束
前页 后页 结束 3．其它型不定式 未定式除 0 0 和 型外，还有 1 0 0 0 0 − 型、 型、 等五种类型。 型、 型、 型
型 变为 o〓 型或者0·=0型 00 例8求 lim r nx ●● 解 lim Inx= lim t 型 x→0 x->0 limx=lim =m x→)0 →0 3x 3 前页后页结束
前页 后页 结束 型或者 型 型： = 1 0 0 0 1 0 = ( 型) 变为 x x x lim ln 3 0 → + 3 0 1 ln lim x x x→ + = 4 0 3 1 lim x x x − = → + x x x 3 lim 4 0 − = → + 3 lim 3 0 x x − = → + x x x lim ln 3 0 例8 求 → + 解 = 0
00-0型: 诵分相减变为型 0 例9求im( 0型) x→1x0 nd 解Im li x→1x-1Inx t=r-l e-1(x-1)Inx 型y) nd Inx+1-1 lim lim 型y x→1 +Inx +Inx lim 2 前页后页结束
前页 后页 结束 型: 通分相减变为 型 0 0 例9 求 ) ln 1 1 lim( 1 x x x x − → − （ − 型） 解 ) ln 1 1 lim( 1 x x x x − → − x x x x x x ( 1)ln ln 1 lim 1 − − − = → ( 0 ) 0 型 x x x x x ln 1 ln 1 1 lim 1 + − + − = → x x x x ln 1 1 ln lim 1 − + = → x x x x 1 1 1 lim 2 1 + = → 2 1 = ( 0 ) 0 型
100。型未定式: 由于它们是来源于幂指函数((x))的极限 因此通常可用取对数的方法或利用((x)y)=e8(xn/(x) 即可化为0·∞型未定式,再化为一型或型求解。 例10求Iimx2(0型) lim rInx 解imxx=lime e x->0 x→>0 Inx= lim x= lim(x)=0 lim xInx=o 1 x-90+ 1 x-30 →0 所以Iimx=e=1 前页后页结束
前页 后页 结束 1 0 0 0 型未定式: 由于它们是来源于幂指函数 ( f (x)) g( x) 的极限 因此通常可用取对数的方法或利用 ( ) ( ) ( ) g x f x g( x)ln f ( x) = e 0 0 即可化为 0 型未定式，再化为 型或 型求解。 例10 求 x x x → + 0 lim 0 (0 ) 型 x x x x x x x x x e e lim l n l n 0 0 0 lim lim → + + + = = → → x x x lim ln 0 → + x x x 1 ln lim 0 → + = 2 0 1 1 lim x x x − = → + lim ( ) 0 0 = − = → + x x lim 1 0 0 = = → + x e x x 解 所以