e" te 例3求lim 0 解 lim e +e- x→0 2in23 x→0 -t li e tet 此定理的结论对于x→>时型未定式同样适用 arctan 例4求Im2 arctan 解 lim lim 1+ lim x→+0 x→+0 x→+o1+x 前页后页结束
前页 后页 结束 例3 求 2 0 2 lim x e e x x x + − − → 解 1 2 lim 2 lim 2 lim 0 0 2 0 = − + = + − − → − → − → x x x x x x x x x e e x e e x e e 此定理的结论对于 时 型未定式同样适用。 0 0 x → 例4 求 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 解 2 2 2 2 1 arctan 2 1 lim lim lim 1 x x x 1 1 1 x x x x x x →+ →+ →+ − + = = − = − + −
型不定式 定理2设函数f(x)与g(x)在点x=a 的某空心邻域内有定义,且满足如下条件 (1 lim f(x)=lim g(x)=oo x→a (2)f(x)与g(x)在该邻域内都存在,且 g(x)≠0 (3)inf"(x) =A(有限或∞) ag(x) 则inf(x) lim f(x) g(x) x-a g(x) 前页后页结束
前页 后页 结束 2． 型不定式． 的某空心邻域内有定义，且满足如下条件 (1) lim ( ) lim ( ) x a x a f x g x → → = = (2) ( ) f x 与 g x ( ) 在该邻域内都存在，且 g x ( ) 0 ( ) (3) lim ( ) ( ) x a f x A → g x = 有限或 则 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x a x a f x f x → → g x g x = 定理2 设函数 f x( ) 与 g x( ) 在点 x a =
例5求lm tanx x→2tan3x 解:Iim tanx sec x lim lim cos 3x x→tan3xx→23SeC3x3x→2c0s2x lim 2cos3 x(3sin x 3x÷2cosx(-sinx) sin6x m 3 z sine 定理2的结论对于x→o时的型未定式 的极限问题同样适用 前页后页结束
前页 后页 结束 例5 求 x x x tan3 tan lim 2 → 解: x x x x x x 3sec 3 sec lim tan3 tan lim 2 2 2 2 → → = x x x 2 2 cos cos 3 lim 3 1 2 → = 2cos ( sin ) 2cos3 ( 3sin ) lim 3 1 2 x x x x x − − = → 3 sin2 sin6 lim 2 = = → x x x 定理2的结论对于 x → 时的 型未定式
例6求im nx 解1im nx lim = lim 0 x→+0 x→+ny x→+oMx 如果himf(x) Hg(x)还是0型定式,且f(x)与g(x) 能满足定理中f(x)与g(x)应满足的条件, 则可继续使用洛必达法则。即有 limf(x)=lim/(x)=limf(x x-g(x) x-g(c) x>"() 前页后页结束
前页 后页 结束 例6 求 n x x ln x lim →+ 解 0 1 lim 1 lim ln lim 1 = = = →+ − →+ →+ n x n x n x n x n x x x x 能满足定理中 f (x) 与 g(x) 应满足的条件， ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x g x f x x a x a x a = = → → → 还是 型未定式，且 f (x) 与 g (x) ( ) ( ) lim g x f x x a → 0 如果 0
如果反复使用洛必达法则也无法确定 的极限,或能断定 无极限, g(x) g(x) 则洛必达法则失效 此时需用别的办法判断未定式(+) g(x) 的极限 前页后页结束
前页 后页 结束 如果反复使用洛必达法则也无法确定 则洛必达法则失效. 此时需用别的办法判断未定式 ( ) ( ) g x f x ( ) ( ) g x f x 或能断定 ( ) ( ) g x f x 的极限， 无极限