例1计算∫xyda,其中D是由直线y=1x=2, D 及y=x所围区域。 y 解法1把D看成X型域,贝 y D D:1≤y≤x,1≤x≤2, y=1 Xao xy d 2 x·]ax odx c、 4
例1 计算 ，其中D是由直线y=1,x=2, 及y=x所围区域。 D xyd 解法 1 把D看成X型域，则 2 1 1 2 3 2 2 1 1 1 4 2 2 1 [ ] [ ] ( ) 2 2 2 9 [ ] 8 4 8 x D x xyd xydy dx y x x x dx dx x x = = = − = − = D x y O y x = y = 1 1 x 2 D y x x :1 ,1 2,
解法2把D看成Y型域,则 xydx ]dy xX 2 D x=2 (2y-y Iy2-2
解法 2 把D看成Y型域，则 2 2 1 2 2 2 1 3 2 1 4 2 2 1 [ ] [ ] 2 (2 ) 2 9 [ ] 8 8 y y xydx dy x y dy y y dy y y = = = − = − = D xyd D O y x 1 2 y x = 2 x y =
例2计算∫xd,其中D是由抛物线y=x 及直线y=x-2所围成的区域。 解把D看作Y型域D:y2≤xsy+2,-1≤y≤2 2 y D y+2 O
例2 计算 ，其中D是由抛物线 及直线 所围成的区域 。 D xyd 2 y x= 解 把D看作Y型域 y −1 2 2 x y = D x y = + 2 y x = − 2 2 D y x y y : 2, 1 2, + − (4,2) y O x (1, 1) −
则 ∫o=∫小y y+2 2,cy+2 xydx]dy x 1y+2 dy 2 (y(y+2)2-y5)d 4 [+y2+2y 2-43 6 5 8
则 D xyd 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 5 1 4 6 3 2 2 1 [ ] [ ] 2 ( ( 2) ) 1 4 [ 2 ] 2 4 3 6 5 5 8 y y y y x xydx dy y dy y y y dy y y y y + + − − − − = = = + − = + + − = 2 2 2 1 y y dy xydx + − =
把D看作Ⅹ型域 由于在[0,1和[1,4]上下边界的表达式不同,所以 要用直线x=1将D分成两个区域D1和D 它们分别用以下不等式表示: (4,2) y D:√x≤y≤√x20≤x≤1 D2:x-2≤y≤√x,1≤x≤4 D: D xydo= xydo+xydo y-√x (1,-1) =Ck~
把D看作X型域 由于在[0，1]和[1，4]上下边界的表达式不同，所以 要用直线x=1将D分成两个区域 D1 和 D2 2 D x y x : 2 , − 1 4 x D x y x 1 : , − 0 1 x y O x D D 1 2 x 1 (1, 1) − (4,2) y x = − y x = 4 y x = − 2 x 1 4 0 1 2 [ ] [ ] x x x x xydy dx xydy dx − − = + D xyd D D 1 2 = + xyd xyd 它们分别用以下不等式表示：