例2已知≈(-1)” 正明1imx 0 (n+ n→>00 讧: (-1) 0 0 n+ (n+1)2下、1 n+ ∨E∈(0,1),欲使xn-0<6,只要 E,即 1 n+ 取N=[-11则当n>N时,就有xn-0<6 故 lim x=lim n->(n+/)2 0也可由x1-0 (n+1) 说明:N与6有关但不唯一取N=[-1 不一定取最小的N HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 已知 证明 证: xn − 0 = 2 ( 1) 1 + = n 1 1 + n (0,1), 欲使 只要 , 1 1 n + 即 n 取 1], 1 = [ − N 则当 n N 时, 就有 − 0 , n x 故 0 ( 1) ( 1) lim lim 2 = + − = → → n x n n n n 故也可取 [ ] 1 N = 也可由 2 ( 1) 1 0 + − = n n x 1. 1 − N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 1 1 = − N 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3设q<1,证明等比数列1,q,q2…,qn1 的极限为0 证:{xn-0=q1-0=q VE∈(0,1),欲使xn-0<6,只要q"<a,即 (n-1)inq<ln,亦即n>1+ n& Inq 因此,取N=1+ In a ,则当n>N时,就有 In q 0<E 故 lim g 0 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例3. 设 q 1, 证明等比数列 证: − 0 n x 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 + = q N ln ln 1 , 则当 n > N 时, 就有 − − 0 n 1 q 故 lim 0 1 = − → n n q . ln ln 1 q n + 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、收敛数列的性质 1.收敛数列的极限唯一 atb b 证:用反证法假设imxn=a及 lim x=b,且a<b n1→)00 取=,因 lim x2=a,故存在N1,使当n>N1时 x-a<2,从而x< 同理,因 lim x=b,故存在M2,使当n>N2时,有 n→>0 xn-b<2,从而 a+b 取N=max{M1,N2},则当n>N时,xn满足的不等式 矛盾.故假设不真!因此收敛数列的极限必唯一 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
− 2 3a b 2 2 b a n b a x a − − − − 二、收敛数列的性质 证: 用反证法. 及 且 a b. 取 因 lim x a, n n = → 故存在 N1 , 从而 2 a b n x + 同理, 因 lim x b, n n = → 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 2 a b n x + 1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n > N1 时, 假设 2 2 b a n b a x b − − − − n a b x + 2 2 3b−a 从而 2 a b n x + 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 取N = maxN1 , N2 , 则当 n > N 时, 故假设不真 ! n x 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.证明数列xn=(-1)(m=1,2,…)是发散的 证:用反证法 假设数列{xn}收敛,则有唯一极限a存在 取E=,则存在N,使当n>N时,有 C <x<a+ 1+ 但因x,交替取值1与-1,而此二数不可能同时落在 长度为1的开区间(a-,a+)内,因此该数列发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 , 2 1 = 则存在 N , 2 1 2 1 a − xn a + 但因 n x 交替取值 1 与－1 , ( , ) 2 1 2 1 a − a + 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n > N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束