清华大学电子工程系：小波分析（1/4)

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 窗口傅立叶变换( Gabor变换): 窗口傅立叶变换的定义: 假设f(t)∈L(R),则以g(t作为窗函数的窗口傅立叶 变换定义为: WF(O, b)=f()g(t-b)e Jod t g(t-b ot o b e 则:WF(0b)=/(0a0dt ((),go 窗口傅立叶变换的物理意义 若g()的有效窗口宽度为D,则W,b)给出的是t) 在局部时间范围[b-D2,b+D2]内的频谱信息。 有效窗口宽度D越小,对信号的时间定位能力越强

窗口傅立叶变换（Gabor变换）：  窗口傅立叶变换的定义： − 假设 f(t)  L 2 (R)，则以g(t)作为窗函数的窗口傅立叶 变换定义为： ( , b) (t) (t - b) t -j t - WFg f g e d  +    = j t b (t) (t - b)  g = g e 令： , (t), (t) ( , b) (t) (t) t b - b , g , f g WF f g d  +   =  = 则：   窗口傅立叶变换的物理意义： − 若g(t)的有效窗口宽度为Dt，则WFg (, b)给出的是f(t) 在局部时间范围[b - Dt /2, b + Dt /2]内的频谱信息。 − 有效窗口宽度Dt越小，对信号的时间定位能力越强

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 窗口傅立叶变换的频域性质: 问题的提出: 窗口傅立叶变换WF(O,b)=<f(t,at)>给出的是信 号在时域上的处理信息,一个很自然的问题是窗口 傅立叶变换在频域上是怎样处理信号的? 假设(t)的傅立叶变换为F(n),gob(t)的傅立叶变 换为Gob(m),则根据 Parseval定理有 WF(,b)=<F(m),Go(n)>/(2x) 窗口傅立叶变换频域上的物理意义: 若G(n)的有效窗口宽度为D,则Wo,b)给出的是 F(η)在局部频率范围[o-D。2,+D。/2]内的频谱信 有效窗口宽度D越小,对信号的频率定位能力越强

窗口傅立叶变换的频域性质：  问题的提出： − 窗口傅立叶变换WFg (, b) = <f(t), g,b(t)>给出的是信 号在时域上的处理信息，一个很自然的问题是窗口 傅立叶变换在频域上是怎样处理信号的？  假设f(t)的傅立叶变换为F()，g,b(t)的傅立叶变 换为G ,b()，则根据Parseval定理有： WFg (, b) = < F(), G ,b()>/(2)  窗口傅立叶变换频域上的物理意义： − 若G ()的有效窗口宽度为D，则WFg (, b)给出的是 F()在局部频率范围[ - D /2,  + D /2]内的频谱信 息。 − 有效窗口宽度D越小，对信号的频率定位能力越强

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 窗口傅立叶变换的性能分析: 问题的提出: 窗口傅立叶变换是否既具有强的时间定位能力,又 具有强的频率定位能力? 选择什么样的窗函数才能使得窗口傅立叶变换具有 好的性能? 解决问题的思想: 从物理意义上来看D和D是矛盾的,因此先定义D 和D后,再计算D和D的乘积用以作为判断窗口傅 立叶变换性能的依据

窗口傅立叶变换的性能分析：  问题的提出： − 窗口傅立叶变换是否既具有强的时间定位能力，又 具有强的频率定位能力？ − 选择什么样的窗函数才能使得窗口傅立叶变换具有 好的性能？  解决问题的思想： − 从物理意义上来看Dt和D是矛盾的，因此先定义Dt 和D后，再计算Dt和D的乘积用以作为判断窗口傅 立叶变换性能的依据

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 窗口傅立叶变换的性能分析: 具体分析过程: 假设: g(t)=0 g(=,G(o)=「 2π 「lg(adt=1 8(|Jt18(Oat=0 ∫olG(o)Pdo=0 IG(O43-oo 定义: 8()。(t-t)1kg(Pdt=t2 g( dt 02|G(o)P IG(O lI 「(o-0)2G(o)Pdo=- 2 T

窗口傅立叶变换的性能分析：  具体分析过程： − 假设： (t - t ) | (t) | t t | (t) | t (t) || 1 D 2 2 2 2 2 0 2 t g d g d || g   + − + − = =        =  =   + − + −  G d G d ||G 2 2 2 2 2 0 2 | ( ) | 2 1 ( - ) | ( ) | ( ) || 1 D − 定义： t (t) 0 |t| = → + lim g || ( ) || | (t) | t 1 2 1 || (t) ||2 2 2  = =  =  + − g G g d t | (t) | t 0 (t) 1 t 2 0 2 = =  + − g d || g || | ( ) | 0 ( ) 1 2 0 2   =   =  + − G d ||G ||

@ 华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 窗口傅立叶变换的性能分析: 海森堡测不准原理 计算D2×D2 DAD tg()Pdtx「oG(o)2d 一 2兀J∞ ∫ tg( dtx厂2mlg(0)dt(xg()=joG(o) 2π + el tg()g(t)dtl tdg(t) ∞ tg(t) g(tdt

窗口傅立叶变换的性能分析： − 计算Dt 2×D 2：     =    + − +   | g d | G | d 2 - 2 2 2 t ( ) 2 1 D D t (t) | t 2 '(t) | t ( { '(t)} j ( )) 2 1 t (t) t 2 2   =    =    + − + − | g | d | g d g G 2 | t g(t) g'(t) d t |  + −  2 2 t (t) 2 1 | dg |  + − = 2 2 - 2 (t) t 2 1 t (t) | 2 1  + − + = g  − g d 4 1 = 海森堡测不准原理