哈尔滨工业大学：《线性代数与空间解析几何》课程教学资源（PPT课件）第八章 二次型与二次曲面

第八章二次型与二次曲面 二次型讨论的对象是多元二次齐次函数,这种函数在物 理、统计、规划、极值等问题中有广泛的应用.例如在 三维空间的几何问题中,一般二次曲面在直角坐标系下表 示为三元二次函数,通过对二次型的讨论,可以研究二次 曲面的分类 本章主要讨论: 1.二次型的理论; 2.空间曲面与曲线; 3.二次曲面的分类 哈工大数学系代数与几何教研室

第八章 二次型与二次曲面 二次型讨论的对象是多元二次齐次函数，这种函数在物 理、统计、规划、极值等问题中有广泛的应用． 例如在 三维空间的几何问题中，一般二次曲面在直角坐标系下表 示为三元二次函数，通过对二次型的讨论，可以研究二次 曲面的分类. 本章主要讨论： 1． 二次型的理论； 2． 空间曲面与曲线； 3. 二次曲面的分类．

81实二次型 8.1.1二次型的定义及矩阵表示 1.定义8.1n个变量x1,x2…,xn的二次齐次函数 f(x,x2…x)=∑∑axx 1x1+a12x1X2 +a21x2X1+c2x2+…+a2m2x2x tanIxnxtan2Inx ,t a1x2+2a12x1x2+…+2a +a2x2+2a23x2x3+…+2 …+a 称为n元二次型,简称二次型 当a为实数时,称/为实二次型,a为复数时/为复二次型 本书只讨论实二次型 哈工大数学系代数与几何教研室

8.1 实二次型 8.1.1 二次型的定义及矩阵表示 1．定义8.1 个变量 的二次齐次函数 称为 n 元二次型，简称二次型. 1 2 , , , n x x x 1 2 1 1 ( , , , ) n n n ij i j i j f x x x a x x = = = 2 = + + + a x a x x a x x 11 1 12 1 2 1 1 n n 2 + + + + a x x a x a x x 21 2 1 22 2 2 2 n n+ 2 + + + + a x x a x x a x n n n n nn n 1 1 2 2 2 = + + + a x a x x a x x 11 1 12 1 2 1 1 2 2 n n 2 2 + + + + + + a x a x x a x x a x 22 2 23 2 3 2 2 2 2 n n nn n n 当 为实数时，称 为实二次型， 为复数时 为复二次型， 本书只讨论实二次型． aij f aij f

2.矩阵形式 则二次型的矩阵形式为 f(x,x2…x)=XX,A为二次型f的矩阵,r()为二次型f 的秩 二次型∫<>A对称阵 注:讨论二次型问题,首要的问题是给定二次型能准确 地写出二次型的矩阵,反之,给定一个对称阵,会写出以 它为矩阵的二次型.这里的关键概念是二次型的矩阵是 个对称矩阵 哈工大数学系代数与几何教研室

2．矩阵形式： 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n ij ji n n nn n a a a x a a a x a a a a a x             = = =             A X 则二次型的矩阵形式为 为二次型 的矩阵, 为二次型 的秩． 1 2 ( , , , ) , n f x x x = X AX A  f r( ) A f 3．二次型 对称阵 注：讨论二次型问题，首要的问题是给定二次型能准确 地写出二次型的矩阵，反之，给定一个对称阵，会写出以 它为矩阵的二次型. 这里的关键概念是二次型的矩阵是一 个对称矩阵. |~| f ⎯⎯→ 对应 A

例1设二次型f=x2-x2-2xx2+x1x3+4x3试写出二次型 的矩阵.(f为三元二次型) 解:将交叉项xx系数÷2即平均分配给x及x(x1=xx 的二次型的系数矩阵A为 A=-1-12 20 哈工大数学系代数与几何教研室

例1 设二次型 试写出二次型 的矩阵.（ 为三元二次型） 2 2 f x x x x x x x x = − − + + 1 2 1 2 1 3 2 3 2 4 f f 解：将交叉项 的系数 2 即平均分配给 及 的二次型的系数矩阵 为 . i j x x i j x x ( ) j i i j j i x x x x x x = A 1 1 1 2 1 1 2 1 2 0 2   −     = − −         A

例2将二次型∫=xx2+x3x4写成矩阵形式 解:∫是一个四元二次型,先写出二次型的矩阵 0 00 XI 000 000 xxx 0 0 00 000 f=XAX=(x,,x2,x3,x4) 000 哈工大数学系代数嗚何教研过

例２ 将二次型 写成矩阵形式. 解： 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵 1 2 3 4 f x x x x = + f 1 2 3 4 1 0 0 0 2 1 000 2 , 1 000 2 1 0 0 0 2 x x x x                 = =                     A X 1 2 1 2 3 4 3 4 1 0 0 0 2 1 000 2 ( , , , ) 1 000 2 1 0 0 0 2 x x f x x x x x x               = =                   X AX