2a+c=1 2b+d=0 b=-1 今 a=0 今 C b=1, d=2 又因为 AB BA 21(0 0-1Y/21(10 1012)(12人-10(01 所以 0-1
− = − = + = + = 1, 0, 2 0, 2 1, b a b d a c = = = − = 2. 1, 1, 0, d c b a 又因为 − 1 0 2 1 − 1 2 0 1 − 1 0 2 1 = − 1 2 0 1 , 0 1 1 0 = 所以 . 1 2 0 1 1 − = − A AB BA
定理1矩阵A可逆的充要条件是A≠0,且 其中4*为矩阵4的伴随矩阵 证明若A可逆,即有A使AA=E 故AA1=E=1,所以4≠0 当4≠0时
定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , −1 1 = A A A A A 0 证明 若 A 可逆， A AA = E. 即有 −1使 −1 1, 1 = = − 故 A A E 所以A 0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵. 当A 0时
当4≠0时, 141+a1242+…+an4n=4 +an242+…+amAm=|A
当A 0时, = n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 a11A11 + a12A12 ++ a1nA1n = A an1An1 + an2An2 ++ annAnn = A , = A A A A O O
A4=AA=AE→A=1AA=E, 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当A=0时,A称为奇异矩阵当A≠0时,A称为 非奇异矩阵 由此可得4是可逆阵的充要条件是4为非奇异矩阵
AA = A A = AE A E, A A A A A = = . 1 A A A − = 按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A = 时 A称为奇异矩阵当A 时 A称 为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵
推论若AB=E(或BA=E)则B=A1 证明AB=E=1,故4≠0, 因而4存在,于是 B=EB=A AB=A(AB _E=下 证毕 逆矩阵的运算性质 ()若A可逆则亦可逆且(4)=A
A B = E = 1, 故 A 0, , 因而A −1存在 于是 B = EB (A A)B −1 = A (AB) −1 = A E −1 = . −1 = A 证毕 ( ), . −1 推论 若AB = E 或BA = E 则B = A 证明 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 逆矩阵的运算性质