《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十三章 函数项级数

任给ε>0,存在正数N,使得当 n>N 时,对一切xeD,都有8(5)I f,(x)- f(x) <2于是当n,m>N,由(5)得 f,(x) - fm(x)/≤I f,(x) - f(x) /+ / f(x) - fm(x) I88<-+-=8.22充分性若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，(f,)在D上任一点都收敛,记其极限函数为f(x)后页返回前页

前页 后页 返回 任给  >0, 存在正数N, 使得当 n N 时, 对一切 x D  , 都有 | ( ) ( ) | . (5) 2 n f x f x  −  于是当 ,由(5)得 n m N ,  | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | n m n m f x f x f x f x f x f x −  − + − . 2 2    + =  充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则, { } 在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f x( ), n f

xeD.现固定(4)式中的n,让m→o0,于是当n>N时对一切xeD都有Lf,(x)-f(x)飞ε. 由定义1知f,(x) f(x) (n →0),x ED根据一致收敛定义可推出下述定理：定理13.2（余项准则）函数列(f,)在区间D上一致收敛于f的充分必要条件是：(6)limsupI f,(x)- f(x) = 0.n->00xED证必要性若f,(x) f(x) (n→0),x D. 则对任给的正数ε,存在不依赖于x的正整数N，当后页返回前页

前页 后页 返回 x D n m n N  →   . (4) , , , 现固定 式中的 让 于是当 时 对一切x D 都有| ( ) ( ) | . n f x f x −   由定义1知, 根据一致收敛定义可推出下述定理: 定理13.2（余项准则） { }n 函数列 f D 在区间 上一致 收敛于 f 的充分必要条件是: limsup | ( ) ( ) | 0. (6) n n x D f x f x →  − = 任给的正数  , 存在不依赖于 x 的正整数 N , 当 ( ) ( ) ( ), . n f x f x n x D → → →   证 必要性 ( ) ( ) ( ), . n 若 f x f x n x D → → →   则对

n>N时, 有If,(x)-f(x)8, xeD.由上确界的定义,对所有n>N，也有supl f,(x) - f(x)<≤ 8.xeD这就得到了(6)式充分性由假设，对任给8>0，存在正整数N,使得当n>N时,有(7)supl f,(x)- f(x)k 8.xeD因为对一切 x ED,总有I f,(x)-f(x) ≤sup/ f,(x)- f(x) /XED后页返回前页

前页 后页 返回 由上确界的定义, 对所有 n N , 也有 sup | ( ) ( ) | . n x D f x f x   −  这就得到了(6)式. 充分性 由假设, 对任给  >0, 存在正整数N, 使得 当 时,有 n N sup | ( ) ( ) | . (7) n x D f x f x   −  因为对一切 总有 x D  , 有 | ( ) ( ) | , . n n N 时, f x f x x D −    | ( ) ( ) | sup | ( ) ( ) | . n n x D f x f x f x f x  −  −

故由 (7) 式得f,(x)-f(x)<ε,于是(f,/在D上一致收敛于f.注柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么，只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致收敛，而使用余项准则需要知道极限函数，但使用较为方便.如例2，由于sinnxlim sup= lim== 0.0n->00 nn→00 xE(-0, +o0)nsin nx所以在(-0, + 8)上,20(n → 0)n后页返回前页

前页 后页 返回 一致收敛于 f . 注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么, 只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用 较为方便. 如例2, 由于 ( , ) sin 1 lim sup 0 lim 0, n n x nx → →  − + n n − = = − +  →  →→ sin ( , ) , 0 ( ). nx n n 所以在 上 故由 (7) 式得 f x f x f D n n ( ) ( ) , −   于是  在 上

例3 定义在[0,1]上的函数列12n'x,0≤x≤2n11f,(x)= 2n -2n'x,n=1,2,..",(8)<x≤-,2nn10,=<x≤1,n由于 f,(0) = 0, 故 f(0) = lim f,(0) = 0.当0<x≤1时,只要>,就有 ,(0)-0,x故在(0,1]上有f(x) = lim f,(x) = 0.前页后页返回

前页 后页 返回 例3 定义在[0,1]上的函数列 2 2 1 2 , 0 , 2 1 1 ( ) 2 2 , , 1,2, , (8) 2 1 0, 1, n n x x n f x n n x x n n n x n       = −   =        由于 f n (0) 0, = 故 f (0) = → lim (0) 0. n = n f 当 时 0 1 ,   x  1 n , x 只要 就有 ( ) 0, n f x = 故在( 0, 1]上有 ( ) lim ( ) 0. n n f x f x → = =