给定的正数ε,不论x 取（-o0,+o)上什么值,都有sinnxN=1,当n>N 时, 恒有-<ε，所以函数列nsinnx在(-o0,+)上一致收敛于 f(x)=0n函数列(f，在 D上不一致收敛于 的正面陈述是:存在某正数 ε,对任何正数 N,都有某一点xED和某一正整数 n>N(注意:x与 n,的取值与 N有关),使得后页返回前页
前页 后页 返回 给定的 正数 , 不论 x 取 (- ,+ ) 上什么值, 都有 N = 1 当 时 恒有 n N , sinnx n , , 所以函数列 sin ( ) 0 nx f x n = 在(- ,+ )上一致收敛于 . 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是: n 函数列 f 存在某正数 0 , 对任何正数 N, 都有某一点 0 x D 和 0 0 某一正整数 n N 0 ( 注意: x n 与 的取值与 N 有关 ), 使得
Jn,(x)-f(x) |≥80.由例1 中知道,(x" 在(0,1)上不可能一致收敛于0.下面来证明这个结论1对任何正整数N≥2,取正整事实上,若取 8=室"，1数n,=N及x,=(1-)E(0, 1), 就有Nx"-0|=1-元≥]N2后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 0 0 ( ) ( ) . n f x f x − (0, 1) 0. n 由例1 中知道, x 在 上不可能一致收敛于 下面来证明这个结论. 事实上, 若取 0 1 , 2, 2 = 对任何正整数 N 取正整 1 0 0 1 1 (0, 1), N n N x N = = − 数 及 就有 0 0 1 1 0 1 . 2 n x N − = −
函数列(J)一致收敛于的几何意义:如图所示,V>0,N>0,对于序1y= f(x)+ey=f(x)号大于N的所有曲线y=f.(x)y= f,(x) (n>N),y=f(x)-ε都落在曲线y=f(x)+8xoa与=f(x)-所夹的带图 13-1状区域之内。后页返回前页
前页 后页 返回 函数列 f f n 一致收敛于 的几何意义:如图所示, 号大于 N 的所有曲线 都落在曲线 y f x = + ( ) 与 y f x = − ( ) 所夹的带 状区域之内. ( ) ( ), n y f x n N = 0 0, , N 对于序 O y x y f x = ( ) ( ) n y f x = a b y f x = − ( ) y f x = + ( ) 图 13-1
函数列(x"在区间(0,1)上y不一致收敛，从几何意义上看，就是存在某个预先给定x!的 ε(<1),无论 N 多么大,tSx-8总存在某条曲线0:1 xy= x"(n> N),6H图 13-2不能全部落在由=ε与y=-8夹成的带状区域内（图13-2).若函数列{x"只限于在区间[0,b](b<1)上，则容易看到，只要后页返回前页
前页 后页 返回 { } (0, 1) n 函数列 x 在区间 上 不一致收敛, 从几何意义上 看, 就是存在某个预先给定 的 (<1), 无论 N 多么大, 总存在某条曲线 ( ), n y x n N = 只限于在区间 0, ( 1) b b 上, 则容易看到, 只要 1 x y O x 2 x 图 13 2 − 1 1 3 x − 不能全部落在由 y = 与 y = − 夹成的带状区域内(图13-2). { }n 若函数列 x
Ing(其中0<ε<1)，曲线 =x" 就全部落在n>Inby=ε和=-ε 所夹成的带状区域内，所以(x"}在[0,b]上是一致收敛的.定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则)函数列(f,)在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在正数N,使当n,m>N，对一切xD,都有(4)I fn(x)- fm(x) <8.证必要性设 f,(x)≥f(x)(n→),xED,即对后页返回前页
前页 后页 返回 ln ( 0 1), ln n b 其中 n 曲线 y x = 就全部落在 y = 和 y = − 所夹成的带状区域内，所以 n x 在 0, b 上是一致收敛的. 定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { }n f 在数集 D 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数N, 使当 n m N , , 对一切 x D , 都有 | ( ) ( ) | . (4) n m f x f x − ( ) ( ) ( ), n 证 必要性 设 f x f x n x D → → → ， 即对