j (a+a2)=Pr ja,+ 性质3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即 j, (a)=1Pr 、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之 间建立了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的 研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系 设a=MM2是以M1(x1,y2=1)为起点、 M2(x2y2,=2)为终点的向量,i、j、k分别表示 图7-5 沿x,y,z轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图7-5,并应用 向量的加法规则知 M1M2=(x2-x1)i+(y2-y1)+(=2-1) a=axi+a+ask 上式称为向量a按基本单位向量的分解式。 有序数组ax、ay、a与向量a一一对应,向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、a=就 叫做向量a的坐标,并记为 上式叫做向量a的坐标表示式 于是,起点为M(x12y1,=1)终点为M2(x2,y2,2)的向量可以表示为 M1M2={x2-x1,y2-y1,=2-=1} 特别地,点M(x,y,)对于原点O的向径 OM=(x,y,=) 注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、a, 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ani、a、ak
a1 a2 a1 a2 j j j Pr u ( + ) = Pr + Pr 性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即 Pr j u (a) = Pr ja 二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之 间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的 研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。 设 a = M1M2 是 以 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 为 起 点 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为终点的向量，i 、j、k 分别 表示 图 7－5 沿 x，y，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 7－5，并应用 向量的加法规则知： ( ) 1 2 2 1 M M = x − x i + ( ) 2 1 y − y j+ ( ) 2 1 z − z k 或 a = ax i + ayj + azk 上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。 有序数组 ax、ay、az 与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影 ax、ay、az 就 叫做向量 a 的坐标，并记为 a ＝ {ax，ay，az}。 上式叫做向量 a 的坐标表示式。 于是，起点为 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 终点为 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 的向量可以表示为 { , , } 1 2 2 1 2 1 2 1 M M = x − x y − y z − z 特别地，点 M (x, y,z) 对于原点 O 的向径 OM ={x, y,z} 注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量 a 在坐标轴上的投影是三个数 ax、ay、az， 向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 ax i 、 ayj 、 azk
2.向量运算的坐标表示 设a={a B, b=b,, 6,, bB a=a,i+a,j+ak, b=b,i+b,j+bk 则 (1)加法:a+b=(a1+b2)+(a,+b,)+(a2+b2)k ◆减法:a-b=(a1--b)i+(an-b,)+(a2-b.)k ◆乘数:Ma=(a1)i+(a,)j+(a2)k a+b={a1+b, b. b={ax-b2,a,-b,a2-b2} 平行:若a≠0时,向量b∥a相当于b=Aa,即 b,b,b3}=2{a2 也相当于向量的对应坐标成比例即 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设a={ax,a,a2},可以用它与三个坐标轴的夹 角α、B、y(均大于等于0,小于等于x)来表示它 的方向,称α、B、y为非零向量a的方向角,见图7 6,其余弦表示形式cosa、cosB、cosy称为方向余 弦 1.模 +a+a 2.方向余弦
2．向量运算的坐标表示 设 { , , } a = ax ay az ， { , , } b = bx by bz 即 a = ax i + ay j + azk ，b = bx i + by j + bzk 则 (1) 加法： a + b = (ax + bx )i + (ay + by ) j + (az + bz )k ◆ 减法： a − b = (ax − bx )i + (ay − by ) j + (az − bz )k ◆ 乘数： a = (ax )i + (ay ) j + (az )k ◆ 或 { , , } a + b = ax + bx ay + by az + bz { , , } a − b = ax − bx ay − by az − bz { , , } a = ax ay az ◆ 平行：若 a≠0 时，向量 b// a 相当于 b = a，即 { , , } { , , } bx by bz = ax ay az 也相当于向量的对应坐标成比例即 z z y y x x a b a b a b = = 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设 { , , } a = ax ay az ，可以用它与三个坐标轴的夹 角 、、 （均大于等于 0，小于等于 ）来表示它 的方向，称 、、 为非零向量 a 的方向角，见图 7 －6，其余弦表示形式 cos、cos 、cos 称为方向余 弦。 图 7－6 1． 模 2 2 2 a = ax + ay + az 2． 方向余弦
a,M, Mucosa=lal cosa 由性质1知{a-=M1(os=ae,=2+a+a≠0时,有 a=M,M2 cosy=acos cosa= B coSy aat a ◆任意向量的方向余弦有性质:cos2a+cos2B+cos2y=1 ◆与非零向量a同方向的单位向量为: La,, a, a)=cos a, cos B, cos y) 3.例子:已知两点M(2,2√2)、M(130),计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以 及与M1M,同向的单位向量。 解:M1M2={1-2,32,0√2}=(-1,,-2 √(-)2+12+(-2)2 coSa=一 cosy 2丌 B 设a"为与M1M2同向的单位向量,由于a={cosa,cosB,cosy} 即得 222 小结:本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标(注 意分向量与向量的坐标的区别)、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。 作业:作业卡P72~73
由性质 1 知 = = = = = = cos cos cos cos cos cos 1 2 1 2 1 2 a a a a M M a M M a M M z y x ，当 0 2 2 2 a = ax + ay + az 时，有 + + = = + + = = + + = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos x y z z z x y z y y x y z x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a ◆ 任意向量的方向余弦有性质： cos cos cos 1 2 2 2 + + = ◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为： { , , } {cos , cos , cos } 1 = = = a x a y a z a a a a 0 3． 例子：已知两点 M1(2,2, 2 )、M2(1,3,0)，计算向量 M1M2 的模、方向余弦、方向角以 及与 M1M2 同向的单位向量。 解： M1M2 ＝{1-2，3-2，0- 2 }={-1，1，- 2 } ( 1) 1 ( 2) 2 2 2 2 M1M2 = − + + − = 2 1 cos = − ， 2 1 cos = ， 2 2 cos = − 3 2 = ， 3 = ， 4 3 = 设 0 a 为与 M1M2 同向的单位向量，由于 = {cos,cos ,cos} 0 a 即得 } 2 2 , 2 1 , 2 1 = {− − 0 a 小结：本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注 意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。 作业：作业卡 P72~73
第四节数量积向量积 教学目的:让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用,掌握向量平行、垂直 等重要的结论,为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点:1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用 教学难点:1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学内容: 、数量积: a)定义:ab=l| b cos0,式中b为向量a与b的夹角 b)物理上:物体在常力F作用下沿直线位移s,力F所作的功为 W=lFscos0 其中b为F与s的夹角 c)性质:1.a·a= l两个非零向量a与b垂直a⊥b的充分必要条件为:a·b=0 Ⅲ.a·b=b·a Ⅳ.(a+b)·c=a·c+bc V.(a)·c=A(a·c) 为数 d)几个等价公式 1.坐标表示式:设a={a2,aa2},b={bx,b,b2}则 a6=a,b+a, b,+a. l投影表示式:ab= arab=|BPa Ⅲ.两向量夹角可以由coO=1,式求解 ab e)例子:已知三点M(1,1,1)、A(22,1)和B(2,1,2),求∠AMB 提示:先求出向量MA4及MA,应用上求夹角的公式
第四节 数量积 向量积 教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直 等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用 教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学内容： 一、数量积： a) 定义： a b = a b cos ，式中 为向量 a 与 b 的夹角。 b) 物理上：物体在常力 F 作用下沿直线位移 s，力 F 所作的功为 W = F s cos 其中 为 F 与 s 的夹角。 c) 性质：Ⅰ. 2 a a = a Ⅱ.两个非零向量 a 与 b 垂直 a ⊥ b 的充分必要条件为： a b = 0 Ⅲ. a b = ba Ⅳ. (a + b) c = a c + b c Ⅴ. (a) c = (a c) 为数 d) 几个等价公式： Ⅰ.坐标表示式：设 { , , } a = ax ay az ， { , , } b = bx by bz 则 = axbx + ayby + azbz a b Ⅱ.投影表示式： a b = a Pr j ab = b Pr j ba Ⅲ.两向量夹角可以由 a b a b cos = 式求解 e) 例子：已知三点 M(1,1,1)、A(2,2,1)和 B(2,1,2)，求 AMB 提示：先求出向量 → MA 及 → MA ，应用上求夹角的公式