单步法的局部截断误差和阶(续) 定义2:对单步法,在yn=y(x)的假设下,称 Rn=y(xn1)-y(x,)-h0xny(x,h)为在xn+处的局部截断误差 若设yn=y(xn,即第n步及以前各步都没有误差, 则由显示单步法计算一步所得之n与yx)之差为: (n)-ym1=y(xn+)-Lym+hp(n, yn, h y(rn+1-y(n)-hp(n, y(rn),h) 即在yn=y(xn)的假设下,Rnb=y(xn1)-yn1 这就是上面定义中称Rn为“局部”的含义,我们一般用 该式作为定义。这里应该注意,R和整体截断误差 en1是不同的。 2004-12-13 16
2004-12-13 16 单步法的局部截断误差和阶 （续） 定义2：对单步法，在 的假设下，称 为在 处的局部截断误差。 yn = y（xn） ( ) ( ) ( , ( ), ) , 1 R y x y x h x y x h n h = n+ − n − φ n n n+1 x 若设 yn = y（xn），即第n步及以前各步都没有误差， 则由显示单步法计算一步所得之yn+1与 y(xn+1)之差为： ( ) ( ) ( , ( ), ) ( ) ( ) [ ( , , )] 1 1 1 1 y x y x h x y x h y x y y x y h x y h n n n n n n n n n n φ φ = − − − = − + + + + + 即在 yn = y（xn）的假设下， Rn,h = y(xn+1 ) − yn+1。 这就是上面定义中称Rn,h为“局部”的含义，我们一般用 该式作为定义。这里应该注意， Rn,h和整体截断误差 en+1是不同的
单步法的局部截断误差和阶(续) 定义3:若一个单步方法的局部截断误差为O(h+),即 V(x+h)-y(x)-hp(,y(x),h)=o(ht) 则称该方法为阶方法(其中p为正整数)。 Remark:由前面的定义可知,若某个单步方法是一种 p阶方法,则有RnOh1),即p阶方法的局部截断误 差为h的p+1阶。我们往往比较关心Rn按h展开式的第 项。 定义4:若一个单步方法是一种p阶方法,其局部截断 误差可以写成: Rmh=(rn, y(n)h+o(h) 则(xny(xn)p+1称为方法的主局部截断误差,或局部 截断误差的主项 2004-12-13 17
2004-12-13 17 单步法的局部截断误差和阶 （续） 定义3：若一个单步方法的局部截断误差为O(hp+1)，即 则称该方法为p阶方法（其中p为正整数）。 ( ) ( ) ( , ( ), ) ( ) +1 + − − = p y x h y x hφ x y x h O h Remark：由前面的定义可知，若某个单步方法是一种 p阶方法，则有Rn,h=O(hp+1)，即p阶方法的局部截断误 差为h的p＋1阶。我们往往比较关心Rn,h按h展开式的第 一项。 定义4：若一个单步方法是一种p阶方法，其局部截断 误差可以写成： ( , ( )) ( ) 1 2 , + + = + p p n h n n R ψ x y x h O h 则Ψ(xn,y(xn))hp+1称为方法的主局部截断误差，或局部 截断误差的主项
单步法的局部截断误差和阶(续) 例1:求Euer方法的局部截断误差。 由 Taylor展式,有 v(x+h)-y(x)-ho(x, y(x),h)=y(x+h)-y(x)-hf(, y(x)) h y(x+h)-y(x)-hy(x)=y"(x)+y"(x)+…=O(h2) 2! 3 故 Euler方法是一阶方法,局部截断误差为: h2 h y"(n)+O(h') h 主局部截断误差为:y(xn) 2004-12-13 18
2004-12-13 18 单步法的局部截断误差和阶 （续） 例1：求Euler方法的局部截断误差。 由Taylor展式，有 '''( ) ( ) 3! ''( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( ), ) ( ) ( ) ( , ( )) 2 2 3 y x O h h y x h y x h y x hy x y x h y x h x y x h y x h y x hf x y x = + − − ′ = + + = + − − = + − − L φ 故Euler方法是一阶方法,局部截断误差为： ''( ) ( ) 2 3 2 , y x O h h Rn h = n + 主局部截断误差为： ''( ) 。 2 2 n y x h
单步法的局部截断误差和阶(续) 例2:求 Euler预估-校正方法 yn=y+hf(rn, yn) In1=yn+o[f(n, ,n)+f(n+1,yn) 的局部截断误差 n+1 y,+-(k+k2) 改写上述公式为: k,=f(rn,yn) k2=f(,+,y,+hk k=f(, yn)=f(n, y(n))=y(xn) 2004-12-13 19
2004-12-13 19 单步法的局部截断误差和阶 （续） 例2：求Euler预估-校正方法 = + + = + + + + + [ ( , ) ( , )] 2 ( , ) [0] 1 1 1 [0] 1 n n n n n n n n n n f x y f x y h y y y y hf x y 的局部截断误差。 改写上述公式为： = + + = + = + + ( , ) ( , ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 k f x h y hk k f x y k k h y y n n n n n n ( , ) ( , ( )) '( ) 1 n n n n n k = f x y = f x y x = y x
单步法的局部截断误差和阶(续) h,=f(n+,y+hk,) f(rn,yn)+h(xn,yn)+hk(xn,yn)+ ax 2(n,y,)+2h [h2"2( k(n, yn)+hki(xn,y)]+ f(rn,y,)+hf(n, yn)+hf(rn, yu)f,(n, yn)+o(h) -=f(n, yn)+hlf +ff +O(h2) y(xn)+hy(n)+O(h) 2004-12-13 20
2004-12-13 20 单步法的局部截断误差和阶 （续） ( , ) 2 1 k f x h y hk = n + n + +L ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + [ ( , ) 2 ( , ) ( , )] 21 ( , ) [ ( , ) ( , )] 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n n n x y y f x y h k x y f x y h k x f h x y y f x y hk x f f x y h ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )2 = f xn yn + hf x xn yn + hf xn yn f y xn yn + O h ( , ) [ ] ( )2 ( , ( )) f x y h f ff O h n n x y x = n n + x + y + '( ) ''( ) ( )2 y x hy x O h = n + n +