国家重点实验室 Examples GF(2)上的多项式f(x)=x2+x+1的剩余类全体为: 0-1-x 0x2+x+1x(x2+x+1)(x+1)(x2+x+1)… 1x2+x x3+x2+x+1 x' xx2+1 x3+x+1 x+1:1+xx x3+x2+1 x+x 对所定义的加法和乘法运算,0.1,x.x+1构成域 ●结论:若m次首一多项式x)在域F上既约,则x) 的剩余类环构成一个有p个元素的有限域
Examples GF(2)上的多项式 f(x)=x 2+x+1的剩余类全体为： 对所定义的加法和乘法运算， 构成域 结论：若n次首一多项式f(x)在域Fp上既约，则f(x) 的剩余类环构成一个有pn个元素的有限域 0,1, x, x +1 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0 : 0 1 ( 1) ( 1)( 1) 1 : 1 + 1 : 1 1 1:1+ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + + + + 3 2 3 1 x x x x + + +
国家重点实验室 主理想环与同构 多项式环F的一切理想均是主理想 ●多项式剩余类环Fx]x)中的每一个理想都是主 理想。且该主理想的生成元必除尽x) °GF(2)上二次多项式与GF(2)上的三重。它们的元 素具有如下的一一对应关系 a+bx+cx2兮abc;a,b,c∈{0,1} 且在适当定义运算之后具有同样的性质与结构 称具有这种对应关系的两个集合为同构
主理想环与同构 多项式环Fp [x]的一切理想均是主理想 多项式剩余类环Fp [x]/f(x)中的每一个理想都是主 理想。且该主理想的生成元必除尽f(x) GF(2)上二次多项式与GF(2)上的三重。它们的元 素具有如下的一一对应关系 且在适当定义运算之后具有同样的性质与结构。 称具有这种对应关系的两个集合为同构 2 a bx cx abc a b c + + ; , , 0,1