《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第5章 矩阵

5.2.3初等矩阵的定义、性质定义2由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵n=CD,(k)4

5.2.3 初等矩阵的定义、性质 定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵. n = 4                1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 P14                               0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 ( ) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ( ) 3 2 4 k T k k D k

定理1对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A：对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A。如1、交换A的i，j行相当于用P,左乘Aal33a12a13a31ds)[1,3]1如13-Aan3an3三a21an2anan2dsa33a13a32a12ail2、把A的第i行乘以数k相当于用D(k）左乘A.月T,(k)左乘A3、把A的第i行乘以k后加到第i行相当于用即A—行→A←EA=A,E为相应的初等矩阵

定理1 对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵 左乘A; 对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵 右乘A。如 1、交换A的i ，j 行相当于用 P A ij左乘 . 11 12 13 31 31 33 [1,3] 21 22 23 21 22 23 13 31 32 33 11 12 13 a a a a a a a a a a a a P A a a a a a a                       如 2、把A的第i 行乘以数k 相当于用 ( ) . D k A i 左乘 3、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 . ( ) T k A ij 左乘 即 A A EA A E    , . 行 为相应的初等矩阵

定理2初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且D,(k)-l = D,()OT,(k)-I = T,(-k)K1A行→A，则A可逆A可逆．（初等变换引理1不改变可逆性）定理31任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为r,n-rA二0m-r,rm-r,n-r

定理2 初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 1 1 T k T k k Pi j  Pi j Di k  Di i j  i j     引理1 ，则 . （初等变换 不改变可逆性）. A A 行 A可逆  A可逆 定理3 任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为              m r r m r n r r r n r O O I O A , ,

证由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为/+rnO对（*）作第三种列变换即可化为A

证 由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为 (*) 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 , 1 2, 1 2 1, 1 1                                               r r r n r n r n C C C C C C 对（*）作第三种列变换即可化为 A

5.2.4矩阵可逆的判别n阶矩阵A可逆台A→I台A可写成初等矩阵的乘积←秩A=nA±0证明：Or,n-rAA可逆，A→三n-r,rn-r,n-r则A可逆，A无零行，即A=I·反之，若A一，由I可逆知A可逆

5.2.4 矩阵可逆的判别 n 阶矩阵A可逆    A I A可写成初等矩阵的乘积  秩A  n | A| 0 证明： A O O I o A n r r n r n r r r n r               , , , ① A可逆, 则 可逆， 无零行，即 . 反之，若A→I，由I可逆知A可逆. A A A  I